【題目】已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x,y恒有f(x)=f(y)+f(x﹣y),當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,且f(2)=﹣3.
(1)求f(0),并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)證明:函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)遞減;
(3)若不等式f(2x﹣3)﹣f(﹣22x)<f(k2x)+6在區(qū)間(﹣2,2)內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【答案】
(1)解:令x=y=0,可得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0

令x=0,可得f(0)=f(y)+f(﹣y),即f(﹣y)=﹣f(y)

故f(x)為奇函數(shù)


(2)證明:任取x1,x2∈R,且x1<x2,

則f(x2)﹣f(x1)=f(x2﹣x1

∵x1<x2,∴x2﹣x1>0,∴f(x2﹣x1)<0

∴f(x2)﹣f(x1)<0,f(x2)<f(x1),

故函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù)


(3)解:∵f(2)=﹣3,

∴f(4)=f(2)+f(2)=﹣6,

∵不等式f(2x﹣3)﹣f(﹣22x)<f(k2x)+6在區(qū)間(﹣2,2)內(nèi)恒成立

∴f(2x﹣3+22x)<f(k2x﹣4)在區(qū)間(﹣2,2)內(nèi)恒成立.

∵函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù),

∴2x﹣3+22x>k2x﹣4在區(qū)間(﹣2,2)內(nèi)恒成立

∴k<2x+2x+1在區(qū)間(﹣2,2)內(nèi)恒成立,

∵x∈(﹣2,2),∴2x+2x∈[2, ),

∴k<2


【解析】(1)分別取x=y=0,和x=0可得f(0)=0,進(jìn)而可得f(﹣y)=﹣f(y),可判f(x)為奇函數(shù);(2)任取x1 , x2∈R,且x1<x2 , 可得f(x2)﹣f(x1)=f(x2﹣x1),結(jié)合已知可判f(x2)﹣f(x1)<0,可得單調(diào)性;(3)由已知式子可得f(4)=﹣6,不等式f(2x﹣3)﹣f(﹣22x)<f(k2x)+6在區(qū)間(﹣2,2)內(nèi)恒成立轉(zhuǎn)化為k<2x+2x+1在區(qū)間(﹣2,2)內(nèi)恒成立,即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍..

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】定義在R上的偶函數(shù)f(x),滿足f(x+1)=f(x﹣1),且f(x)在[﹣3,﹣2]上是增函數(shù),又α、β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,則(
A.f(sinα)>f(cosβ)
B.f(cosα)<f(cosβ)
C.f(sinα)<f(cosβ)
D.f(sinα)<f(sinβ)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是

A. B.

C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】給定兩個(gè)命題,命題P:函數(shù)f(x)=(a﹣1)x+3在R上是增函數(shù); 命題q:關(guān)于x的方程x2﹣x+a=0有實(shí)數(shù)根. 若p∧q為假命題,p∨q為真命題,求實(shí)數(shù)a的范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的幾組數(shù)據(jù)如下表所示:

(1)請根據(jù)上表數(shù)據(jù)在網(wǎng)格紙中繪制散點(diǎn)圖;

(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程,并估計(jì)當(dāng)時(shí), 的值;

(3)將表格中的數(shù)據(jù)看作五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),則從這五個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)抽取2個(gè)點(diǎn),求這兩個(gè)點(diǎn)都在直線的右下方的概率.

參考公式: .

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)關(guān)于x的不等式|x﹣2|<a(a∈R)的解集為A,且 ∈A,﹣ A.
(1)對任意的x∈R,|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立,且a∈N,求a的值.
(2)若a+b=1,a,b∈R+ , 求 + 的最小值,并指出取得最小值時(shí)a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù)f(x)= +lg(x+2)的定義域?yàn)椋?/span>
A.(﹣2,1)
B.(﹣2,1]
C.[﹣2,1)
D.[﹣2,﹣1]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cosC+(cosA﹣ sinA)cosB=0.
(1)求角B的大。
(2)若a=2,b= ,求△ABC的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1 (t為參數(shù)),在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=4.
(1)求出曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)若C1與C2相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案