Question

已知函數(shù)f（x）=sinx（x≥0），g（x）=ax（x≥0）．
（I）若f（x）≤g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（II）當a�。↖）中最小值時，求證：．

Answer 1

解：（Ⅰ） 由題意可得：令h（x）=f（x）-g（x）=sinx-ax（x≥0），
所以h'（x）=cosx-a．
若a≥1，h'（x）=cosx-a≤0，
所以h（x）=sinx-ax在區(qū)間（-∞，0]上單調(diào)遞減，即h（x）≤h（0）=0，
所以sinx≤ax（x≥0）成立． （3分）
若a＜1，存在，使得cosx₀=a，
所以x∈（0，x₀），h'（x）=cosx-a＞0，
所以h（x）=sinx-ax在區(qū)間（0，x₀）上單調(diào)遞增，
所以存在x使得h（x）＞h（0）=0，即此時f（x）≤g（x）不恒成立，
所以a＜1不符合題意舍去．
綜上，a≥1． （5分）
（Ⅱ）由題意可得：a=1，所以g（x）=x（x≥0），
所以（x）-g（x）=sinx-x（x≥0），
所以原不等式等價于（x≥0），
設，所以．
令，所以G'（x）=sinx-x，
所以G'（x）=sinx-x≤0（x≥0），
所以在（0，+∞）上單調(diào)遞減，（8分）
因此有：，
即，
所以單調(diào)遞減，（10分）
所以，
所以（x≥0）恒成立，即（x≥0）． （12分）
分析：（Ⅰ） 由題意可得：令h（x）=f（x）-g（x）=sinx-ax（x≥0），所以h'（x）=cosx-a，再分別討論a與1的大小，得到函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最值，進而解決恒成立問題求出a的范圍．
（Ⅱ）由題意可得：g（x）=x（x≥0），所以原不等式等價于（x≥0），設，再反復利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而得到函數(shù)H（x）的單調(diào)性，求出函數(shù)H（x）的最值即可證明恒成立問題即不等式成立．
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及由函數(shù)恒成立的問題求參數(shù)的取值范圍，求解本題關鍵是記憶好求導的公式以及單調(diào)區(qū)間與導數(shù)的關系，對于函數(shù)的恒成立的問題求參數(shù)，要注意正確轉(zhuǎn)化，恰當?shù)霓D(zhuǎn)化可以大大降低解題難度，此題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的重要數(shù)學思想．