Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{m}{x}$-m+lnx（m為常數(shù)）．
（1）試求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，f（x）≥0恒成立？

Answer 1

分析 （1）對(duì)f（x）求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)中m進(jìn)行分類(lèi)討論，由此得到單調(diào)區(qū)間，
（2）借助（1），對(duì)m進(jìn)行分類(lèi)討論，由最大值小于等于0，構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題．

解答 解：（1）${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}-\frac{m}{{x}^{2}}$ （x∈（0，+∞）），
當(dāng)m≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)m＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞m，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜m，
∴f（x）在（0，m）遞減，在（m，+∞）遞增；
（2）由（1）得：m≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）遞增，
而f（1）=0，故f（x）＜0在（0，1）成立，不合題意，
m＞0時(shí)，f（x）在（0，m）遞減，在（m，+∞）遞增，
f（x）_min=f（m）=1-m+lnm=0，解得：m=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)求導(dǎo)，分類(lèi)討論，構(gòu)造新函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，是一道中檔題．