Question

16．已知體積為4$\sqrt{6}$的長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，在這個(gè)長(zhǎng)方體經(jīng)過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面中，如果有兩個(gè)面的面積分別為2$\sqrt{3}$、4$\sqrt{3}$，那么球O的體積等于（　�。�

• A． $\frac{32π}{3}$
• B． $\frac{16\sqrt{7}π}{3}$
• C． $\frac{33π}{2}$
• D． $\frac{11\sqrt{7}π}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a，b，c，則由題意，abc=4$\sqrt{6}$，ab=2$\sqrt{3}$，bc=4$\sqrt{3}$，求出a，b，c，利用長(zhǎng)方體的對(duì)角線為球O的直徑，求出球O的半徑，即可求出球O的體積．

解答 解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a，b，c，則由題意，abc=4$\sqrt{6}$，ab=2$\sqrt{3}$，bc=4$\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}$，c=2$\sqrt{2}$，
∴長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{2+6+8}$=4，
∵長(zhǎng)方體的對(duì)角線為球O的直徑，
∴球O的半徑為2，
∴球O的體積等于$\frac{4}{3}π•{2}^{3}$=$\frac{32π}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球O的體積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，利用長(zhǎng)方體的對(duì)角線為球O的直徑是關(guān)鍵．