Question

已知函數(shù)f（x）=．
（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值；
（III）若f（x）在區(qū)間（1，e）上恰有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）當a=2時，f（x）=，f′（x）=x-，
∴f′（1）=-1，f（1）=，
故f（x）在（1，f（1））處的切線方程為：y-=-（x-1）
化為一般式可得2x+2y-3=0…..（3分）
（Ⅱ）求導數(shù)可得f′（x）=x-=
由a＞0及定義域為（0，+∞），令f′（x）=0，解得x=，
①若≤1，即0＜a≤1，在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在[1，e]上單調遞增，
因此，f（x）在區(qū)間[1，e]的最小值為f（1）=．
②若1＜＜e，即1＜a＜e²，在（1，）上，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
在（，e）上，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，因此f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為f（）=，
③若，即a≥e²在（1，e上，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上單調遞減，
因此，f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為f（e）=．
綜上，當0＜a≤1時，f_min（x）=；當1＜a＜e²時，f_min（x）=；
當a≥e²時，f_min（x）=．…．（9分）
（III） 由（II）可知當0＜a≤1或a≥e²時，f（x）在（1，e）上是單調遞增或遞減函數(shù)，不可能存在兩個零點．
當1＜a＜e²時，要使f（x）在區(qū)間（1，e）上恰有兩個零點，則
即，此時，e＜a＜．
所以，a的取值范圍為（e，）…..（13分）
分析：（Ⅰ）把a=2代入可得f′（1）=-1，f（1）=，進而可得方程，化為一般式即可；
（Ⅱ）可得x=為函數(shù)的臨界點，分≤1，1＜＜e，，三種情形來討論，可得最值；
（III）由（II）可知當0＜a≤1或a≥e²時，不合題意，當1＜a＜e²時，需，解之可得a的范圍．
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的切線，涉及函數(shù)的零點和閉區(qū)間的最值，屬中檔題．