Question

6．拋物線x²=-8y的準(zhǔn)線交y軸于點A，過A作直線交拋物線于M，N兩點，點B在拋物線的對稱軸上，若（2$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{MN}$）⊥$\overrightarrow{MN}$，則|$\overrightarrow{OB}$|的取值范圍是（6，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可設(shè)直線MN的方程為y=kx+2，M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中點E（x₀，y₀），聯(lián)立方程可得x²+8kx+16=0，由△＞0可求k的范圍，由方程的根與系數(shù)關(guān)系及中點坐標(biāo)公式可求MN的中點E，由即BE⊥MN即M在MN的垂直平分線，則MN的垂直平分線與y軸的交點即是B，令x=0可求B的縱坐標(biāo)，結(jié)合K的范圍可求|$\overrightarrow{OB}$|的范圍

解答 解：由題意可得A（0，2），直線MN的斜率k存在且k≠0
設(shè)直線MN的方程為y=kx+2，M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中點E（x₀，y₀），
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}=-8y}\end{array}\right.$可得x²+8kx+16=0
則可得，△=64k²-64＞0，即k²＞1，x₁+x₂=-8k，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4=4-8k²
∴x₀=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=-4k，y₀=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=2-4k²即E（-4k，2-4k²）
又2$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{MN}$=2$\overrightarrow{BM}$+2$\overrightarrow{ME}$=2$\overrightarrow{BE}$，
∵（2$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{MN}$）⊥$\overrightarrow{MN}$，即BE⊥MN即M在MN的垂直平分線
則MN的垂直平分線y+4k²-2=-$\frac{1}{k}$（x+4k）與y軸的交點即是B，
令x=0可得，y=-2-4k²
則|$\overrightarrow{OB}$|=2+4k²＞6
故答案為（6，+∞）．

點評 本題主要考查了向量的數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于向量知識的綜合應(yīng)用．