Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），a₁=1，求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），a₁=1，可得：S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0（n≥2），變形為：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），a₁=1，
∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0（n≥2），
變形為：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項為1，公差為2．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$（n=1時也成立）．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．