Question

（19）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2r，短半軸長(zhǎng)為r.計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點(diǎn)在橢圓上.記CD=2x，梯形面積為S.

（Ⅰ）求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫(xiě)出其定義域；

（Ⅱ）求面積S的最大值.

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系O-xy（如圖），則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x.

點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y滿足方程（y≥0），

解得y=2（0＜x＜r）.

S=（2x+2r）·2

=2（x+r）·，

其定義域?yàn)椋?I >x|0＜x＜r｝.

（Ⅱ）記f（x）=4（x+r）²（r²-x²），0＜x＜r，

則f′（x）=8（x+r）²（r-2x）.

令f′（x）=0，得x=r.

因?yàn)楫?dāng)0＜x＜時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)＜x＜r時(shí)，f′（x）＜0，所以f（r）是f（x）的最大值.

因此，當(dāng)x=r時(shí)，S也取得最大值，最大值為，

即梯形面積S的最大值為.