【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)設曲線,點,為該曲線上不同的兩點.求證:當時,直線的斜率大于-1.
【答案】(Ⅰ)當時,的減區(qū)間是,無增區(qū)間;當時,的減區(qū)間是,增區(qū)間是.(Ⅱ)證明見解析.
【解析】
(Ⅰ)由,求導得,
再分和兩種情況分類討論求解.
(Ⅱ)由,得,設,要證直線的斜率大于-1.,只需證,只需證.即證在上是增函數(shù)即可.
(Ⅰ)因為,
所以,
當時,,所以在上是減函數(shù),
當時,令得,
當時,,在上是增函數(shù),
當時,,在上是減函數(shù),
綜上:當時,的減區(qū)間是.
當時,的減區(qū)間是,增區(qū)間是.
(Ⅱ)因為,
所以,設,
要證直線的斜率大于-1.,
只需證,
只需證,
只需證.
即證在上是增函數(shù),
要證在上是增函數(shù),
只需證當時,在上恒成立,
只需證當時,在上恒成立,
令
所以當時,在上恒成立
以上各步可逆
所以直線的斜率大于-1.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中:底面ABCD,底面ABCD為梯形,,,且,BC=1,M為棱PD上的點。
(Ⅰ)若,求證:平面PAB;
(Ⅱ)求直線BD與平面PAD所成角的大小;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中選派三人分別從事翻譯、導游、禮儀三項不同工作,若其中乙和丙只能從事前兩項工作,其余三人均能從事這三項工作,則不同的選派方案共有( )
A.36種B.12種C.18種D.24種
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2021年起,新高考科目設置采用“”模式,普通高中學生從高一升高二時將面臨著選擇物理還是歷史的問題,某校抽取了部分男、女學生調查選科意向,制作出如右圖等高條形圖,現(xiàn)給出下列結論:
①樣本中的女生更傾向于選歷史;
②樣本中的男生更傾向于選物理;
③樣本中的男生和女生數(shù)量一樣多;
④樣本中意向物理的學生數(shù)量多于意向歷史的學生數(shù)量.
根據(jù)兩幅條形圖的信息,可以判斷上述結論正確的有( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從某地區(qū)隨機抽測120名成年女子的血清總蛋白含量(單位:),由測量結果得如圖頻數(shù)分布表:
(1)①仔細觀察表中數(shù)據(jù),算出該樣本平均數(shù)______;
②由表格可以認為,該地區(qū)成年女子的血清總蛋白含量Z服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本標準差s.經(jīng)計算,該樣本標準差.
醫(yī)學上,Z過高或過低都為異常,Z的正常值范圍通常取關于對稱的區(qū)間,且Z位于該區(qū)間的概率為,試用該樣本估計該地區(qū)血清總蛋白正常值范圍.
120名成年女人的血清總蛋白含量的頻數(shù)分布表 | |||
分組 | 頻數(shù)f | 區(qū)間中點值x | |
2 | 65 | 130 | |
8 | 67 | 536 | |
12 | 69 | 828 | |
15 | 71 | 1065 | |
25 | 73 | 1825 | |
24 | 75 | 1800 | |
16 | 77 | 1232 | |
10 | 79 | 790 | |
7 | 81 | 567 | |
1 | 83 | 83 | |
合計 | 120 | 8856 |
(2)結合(1)中的正常值范圍,若該地區(qū)有5名成年女子檢測血清總蛋白含量,測得數(shù)據(jù)分別為83.2,80,73,59.5,77,從中隨機抽取2名女子,設血清總蛋白含量不在正常值范圍的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.
附:若,則.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某工廠甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品,數(shù)量分別為120件,60件,30件.為了解它們的產(chǎn)品質量是否存在顯著差異,用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進行調查,其中從乙車間的產(chǎn)品中抽取了2件。
(Ⅰ)應從甲、丙兩個車間的產(chǎn)品中分別抽取多少件,樣本容量n為多少?
(Ⅱ)設抽出的n件產(chǎn)品分別用,,…,表示,現(xiàn)從中隨機抽取2件產(chǎn)品。
(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果;
(ii)設M為事件“抽取的2件產(chǎn)品來自不同車間”,求事件M發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)如圖(1)已知E,F,G,H為空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上的點,且EHFG.求證:EHBD.
(2)如圖(2):S是平行四邊形ABCD平面外一點,M,N分別是SA,BD上的點,且,求證:MN平面SBC.
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