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13.已知函數(shù)f(x)=ex-ax2-2x-1(x∈R).
(I)若f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為l,且直線l在y軸上的截距為-2,求a的值;
(Ⅱ)求證:對(duì)任意實(shí)數(shù)a<0,都有f(x)>a2a+1a

分析 (I)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率,運(yùn)用兩點(diǎn)斜率公式,計(jì)算即可得到a=-1;
(Ⅱ)原不等式即為ex>ax2+2x+a+1a,運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的值域和二次函數(shù)的判別式小于0,即可得到證明.

解答 解:(I)函數(shù)f(x)=ex-ax2-2x-1的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=ex-2ax-2,
可得切線的斜率f′(1)=e-2a-2,又f(1)=e-a-3,
直線l過(guò)(0,-2),可得e-a-1=e-2a-2,
解得a=-1:
(Ⅱ)證明:f(x)>a2a+1a即為
ex-ax2-2x-1>a+1a-1,即有ex>ax2+2x+a+1a,
由ex>0,y=ax2+2x+a+1a,a<0,
△=4-4a(a+1a)=4-4a2-4=-4a2<0,
即有y<0恒成立,
則ex>ax2+2x+a+1a成立.
故原不等式成立.

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線的斜率,考查不等式的證明,注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的值域和二次函數(shù)的性質(zhì),考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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