Question

5．若不等式sin²x-asinx+2≥0對任意的x∈（0，$\frac{π}{2}$]恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用換元法令t=sinx，不等式可整理為t²-at+2≥0恒成立，得$a≤\frac{{t}^{2}+2}{t}$，利用分離常數(shù)法求出實(shí)數(shù)a的最大值即可．

解答 解：設(shè)t=sinx，∵x∈（0，$\frac{π}{2}$]，∴t∈（0，1]，
則不等式即為t²-at+2≥0在t∈（0，1]恒成立，
即$a≤\frac{{t}^{2}+2}{t}=t+\frac{2}{t}$在t∈（0，1]恒成立，
∴a≤3．
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查不等式恒成立問題，利用換元法結(jié)合基本不等式求出函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．