Question

數(shù)列{a_n}中，，試證：．

Answer 1

【答案】分析：由題設(shè)知a_n＞0，當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n=2時(shí)，．假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N）時(shí)，，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，，．再用作商法比較和的大�。畯亩�證明出，．
解答：證明：∵a₁=2，，∴a_n＞0，
∵0.5a_n²-a_n+1a_n+1=0，由△=a_n+1²-2≥0，得（舍去）或．
當(dāng)n=1時(shí)，；
當(dāng)n=2時(shí)，．
假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N）時(shí)，，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，，
∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，
∴．
面用作商法比較和的大�。�
∵=，
∴，
∴，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，成立．
∴對(duì)于任意n∈N，均成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的極限及其應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．