已知F1、F2分別是雙曲線C：
x2
4
-
y2
5
=1的左、右焦點(diǎn)，A∈C，點(diǎn)M（1，0），若AM平分∠F1AF2，則|AF2|=
4
4
．
分析：首先求出雙曲線
x2
4
-
y2
5
=1的半焦距c=3，可得左焦點(diǎn)F1（-3，0），右焦點(diǎn)F2（3，0），求出|MF1|=4，|MF1|=2．再利用三角形內(nèi)角平分線定理，在△F1AF2中根據(jù)AM平分∠F1AF2，得
AF1
AF2
=
MF1
MF2
=2，所以|AF1|=2|AF2|，結(jié)合雙曲線的定義得|AF1|-|AF2|=2a=4，從而得出|AF2|的值．
解答：解：∵雙曲線C的方程為
x2
4
-
y2
5
=1
∴c2=4+5=9，c=3，可得左焦點(diǎn)F1（-3，0），右焦點(diǎn)F2（3，0），
因此|MF1|=1+3=4，|MF1|=3-1=2，
∵△F1AF2中，AM平分∠F1AF2，
∴
AF1
AF2
=
MF1
MF2
=2，可得|AF1|=2|AF2|
又∵點(diǎn)A在雙曲線C上，|AF1|-|AF2|=2a=4
∴|AF1|=8，|AF2|=4．
故答案為：4．
點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線的焦點(diǎn)三角形F1AF2中，角A的平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，0），求線段AM的長(zhǎng)度，著重考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、三角形內(nèi)角平分線定理等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•湖南）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：
x25
+y2=1的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2關(guān)于直線x+y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)是圓C的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長(zhǎng)分別為a，b．當(dāng)ab最大時(shí)，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•青島二模）已知F1、F2分別是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，
PF2
⊥
F1F2
，且|
PF1
|=
2
|
PF2
|，則雙曲線的離心率為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1 (a＞0， b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，且橢圓C的離心率e=
1
2
，F(xiàn)1也是拋物線C1：y2=-4x的焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F2的直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)，且2
DF2
=
F2E
，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為G，求直線GD的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左，右焦點(diǎn)，P是雙曲線的上一點(diǎn)，若
PF1
•
PF2
=0且|
PF1
|•|
PF2
|=3ab，則雙曲線的離心率是
 
．

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