Question

函數f（x）=

x+1

x2+1

的值域為

 

．

Answer 1

考點：函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：本題通過換元法，將分子換成t，然后分類討論，求出分母的取值范圍，得到f（x）=

x+1

x2+1

的值域，即得到本題結論．

解答： 解：設x+1=t，則x=t-1，
∵函數f（x）=

x+1

x2+1

，
∴記g（t）=

t

(t-1)2+1

=

t

t2-2t+2

，
（1）當t=0時，g（t）=0，
（2）當t≠0時，g(t)=

1

t+ 2 t -2

，
∵t+

2

t

≤-2

2

或t+

2

t

≥2

2

，
∴t+

2

t

-2≤-2

2

-2或t+

2

t

-2≥2

2

-2，
∴

1

-2 2 -2

≤

1

t+ 2 t -2

＜0或0＜

1

t+ 2 t -2

≤

1

2 2 -2

，
∴

1- 2

2

≤g（t）＜0或0＜g（t）≤

1+ 2

2

，
綜上，

1- 2

2

≤g（t）≤

1+ 2

2

，
∴函數f（x）=

x+1

x2+1

的值域為{y|

1- 2

2

≤y≤

1+ 2

2

}，
故答案為：[

1- 2

2

，

1+ 2

2

]．

點評：本題考查了換元法求二次分式函數的值域，本題也可利用導函數研究，本題難度不大，屬于基礎題．