Question

在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在A₁B₁上．
（1）若DE⊥CF，求A₁F的長(zhǎng)；
（2）求二面角C-C₁D-E的余弦值．

Answer 1

解 （1）以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC所在直線分別為x軸、y軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則
D（0，0，0），E（1，2，0），C₁（0，2，2），C（0，2，0），，，
設(shè)A₁F=x，得F（2，x，2），=（2，x-2，2），
當(dāng)DE⊥CF時(shí)，，即2+2（x-2）=0，
解之得x=1，所以A₁F的長(zhǎng)為1． …（5分）
（2）設(shè)平面DEC₁的一個(gè)法向量為，
由得2y₁+2z₁=0，
再由得x₁+2y₁=0，
令y₁=-1得x₁=2，z₁=1，所以平面DEC₁的一個(gè)法向量為． …（7分）
易得平面DCC₁的一個(gè)法向量為，…（8分）
設(shè)二面角C-C₁D-E的平面角為θ，則=，
所以二面角C-C₁D-E的余弦值為． …（10分）
分析：（1）以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，可得D、E、C₁、C各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到和的坐標(biāo)，設(shè)A₁F=x，得=（2，x-2，2）．DE⊥CF，利用垂直向量的數(shù)量積為零建立關(guān)于x的方程組，解之即可得到A₁F的長(zhǎng)；
（2）設(shè)平面DEC₁的一個(gè)法向量為，由與建立關(guān)于x₁、y₁、z₁的方程組，并取x₁=2，得，再根據(jù)平面DCC₁的一個(gè)法向量為，計(jì)算出向量、夾角的余弦之值，即可得到二面角C-C₁D-E的余弦值．
點(diǎn)評(píng)：本題給出正方體，探究了異面直線的垂直并求二面角的大小，著重考查了正方體的性質(zhì)和利用空間向量計(jì)算線線角和面面角等知識(shí)，屬于中檔題．