【題目】已知點P到圓(x+22+y2=1的切線長與到y軸的距離之比為tt0,t≠1);

1)求動點P的軌跡C的方程;

2)當(dāng)時,將軌跡C的圖形沿著x軸向左移動1個單位,得到曲線G,過曲線G上一點Q作兩條漸近線的垂線,垂足分別是P1P2,求的值;

3)設(shè)曲線C的兩焦點為F1,F2,求t的取值范圍,使得曲線C上不存在點Q,使∠F1QF2=θ0θπ.

【答案】1)(1t2x2+y2+4x+3=0230t

【解析】

1)設(shè)Px,y),則P到圓的切線長為,利用勾股定理列方程化簡即可得出動點P的軌跡C的方程;

2)當(dāng)t時,軌跡C的方程化為:.可得曲線G的方程為.可得曲線G的漸近線方程為yx,yx.設(shè)Qx0y0),P1m,m),P2n,n),,.可得mn.又y022x025,利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出;

3)對曲線C得類型進(jìn)行討論,得出∠F1QF2的最大值,利用三角恒等變換列不等式解出t的范圍.

解:(1)圓(x+22+y21的圓心為M(﹣2,0),半徑r1

設(shè)Px,y),則P到圓的切線長為,

t|x|

∴(x+22+y21t2x2,

整理得(1t2x2+y2+4x+30

則動點P的軌跡C的方程為:(1t2x2+y2+4x+30

2)當(dāng)t時,軌跡C的方程為﹣2x2+4x+3+y20,即

∴曲線G的方程為

∴曲線G的漸近線方程為yx,yx

設(shè)Qx0y0),P1m,m),P2nn),

,

m,n,

,∴y022x025

mx0)(nx0+my0)(ny0)=(mx0)(nx0x0mx0n

mx0)(nx0),

3)曲線C的方程可化為(1t2)(x2+y23

當(dāng)0t1時,曲線C為焦點在x軸上的橢圓,橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為1

∴當(dāng)Q為短軸端點時,∠F1QF2取得最大值,設(shè)∠F1QF2的最大值為α,則tan2,

cosα12t2

若曲線C上不存在點Q,使∠F1QF2θ,則θα

cosθ12t2,解得0t

當(dāng)t1時,曲線C為焦點在x軸的雙曲線,∴0<∠F1QF2π

∴當(dāng)0θπ時,曲線C上始終存在的Q使得∠F1QF2θ

綜上,當(dāng)0t時,曲線C上不存在點Q,使∠F1QF2θ

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兩個球與的切點是所得橢圓的兩個焦點;

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