Question

已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性并用定義證明；
（3）若對(duì)x∈[-1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，
則有f（0）=0，即=0，解可得a=1，
即a=1；
（2）由（1）得a=1，則f（x）==1-，
設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（1-）-（1-）=＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
則f（x）在R上為增函數(shù)．
（3）由（2）可得，f（x）在[-1，2]上為增函數(shù)，
則f（x）在[-1，2]上的最小值為f（-1）=-，
又由對(duì)x∈[-1，2]恒成立，
則-≥k²-k，
即3k²-4k+1≤0，解可得≤k≤1，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是[，1]．
分析：（1）根據(jù)題意，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，可得f（0）=0，即可得=0，解可得a的值；
（2）將a=1代入f（x）可得f（x）的解析式，設(shè)設(shè)x₁＜x₂，再做差變形可得f（x₁）-f（x₂）=，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷可得f（x₁）-f（x₂）＜0，即可得證明；
（3）由（2）的結(jié)論可得，f（x）在[-1，2]上為增函數(shù)，分析可得，f（x）在[-1，2]上的最小值，結(jié)合題意可得-≥k²-k，解可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，涉及函數(shù)的恒成立問(wèn)題，關(guān)鍵是理解運(yùn)用單調(diào)性、奇偶性以及函數(shù)的最值之間的關(guān)系．