（本小題滿分13分）已知數(shù)列.如果數(shù)列滿足，，其中，則稱為的“衍生數(shù)列”.

（Ⅰ）寫出數(shù)列的“衍生數(shù)列”；

（Ⅱ）若為偶數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，證明：；

（Ⅲ）若為奇數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，的“衍生數(shù)列”是，….依次將數(shù)

列，，，…的首項(xiàng)取出，構(gòu)成數(shù)列.證明：是等差數(shù)列.

 

【答案】

（Ⅰ）解：.                      ………………3分

（Ⅱ）證明： 因?yàn)?，

，

，

……

，

由于為偶數(shù)，將上述個等式中的第這個式子都乘以，相加得

      即，.                                     ………………8分

（Ⅲ）證明：對于數(shù)列及其“衍生數(shù)列”，

因?yàn)?，

，

，

……

，

由于為奇數(shù)，將上述個等式中的第這個式子都乘以，

相加得

      即.

設(shè)數(shù)列的“衍生數(shù)列”為，

因?yàn)?，，

所以 ，   即成等差數(shù)列.       ………………12分

同理可證，也成等差數(shù)列.

從而是等差數(shù)列.             ………………13分

【解析】略

 

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