Question

求sin⁴10°+sin⁴50°+sin⁴70°的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：原式各項(xiàng)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)將正弦變形為余弦，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，利用完全平方公式整理后，利用和差化積公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得到結(jié)果．

解答： 解：sin⁴10°+sin⁴50°+sin⁴70°
=cos⁴80°+cos⁴40°+cos⁴20°
=cos⁴20+cos⁴40°+cos⁴80°
=（

1+cos40°

2

）²+（

1+cos80°

2

）²+（

1+cos160°

2

）²
=

3

4

+

1

2

（cos40°+cos80°+cos160°）+

1

4

（cos²40°+cos²80°+cos²160°）
=

3

4

+

1

2

（2cos60°cos20°-cos20°）+

1

4

（

1+cos80°

2

+

1+cos160°

2

+

1+cos320°

2

）
=

3

4

+0+

1

8

（3+cos80°-cos20°+cos40°）
=

3

4

+

1

8

（3-2sin50°sin30°+sin50°）
=

3

4

+

3

8

=

9

8

．
故答案為：

9

8

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，二倍角的余弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，以及和差化積公式，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．