Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若nS_n+（n+2）a_n=4n，則下列說法正確的是（　　）

• A． 數(shù)列{a_n}是以1為首項的等比數(shù)列
• B． 數(shù)列{a_n}的通項公式為${a_n}=\frac{n+1}{2^n}$
• C． 數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是等比數(shù)列，且公比為$\frac{1}{2}$
• D． 數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$是等比數(shù)列，且公比為$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}（n=1）}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}（n≥2）}\end{array}\right.$得到數(shù)列{a_n}的遞推式，

解答 解：當n=1時，有S₁+3a₁=4a₁=4，得：a₁=1，
當n≥2，時，由nS_n+（n+2）a_n=4n，即S_n+$\frac{n+2}{n}$a_n=4①，得：
S_n-1+$\frac{n+1}{n-1}$a_n-1=4②，
①-②得：a_n+$\frac{n+2}{n}$a_n-$\frac{n+1}{n-1}$a_n-1=0，
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{2（n-1）}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$•$\frac{2}{1}$•$\frac{3}{2}$•…•$\frac{n}{n-1}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$•n，
即a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是等比數(shù)列，且公比為$\frac{1}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查數(shù)列通項公式的求法．解題關鍵是能根據(jù)S_n與a_n的關系得到數(shù)列的遞推公式．考查了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于中檔題．