Question

（2012•泉州模擬）如圖，設(shè)AB、A′B′分別是圓O：x²+y²=a²和橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的弦，端點(diǎn)A與A′、B與B′的橫坐標(biāo)分別相等，縱坐標(biāo)分別同號．
（Ⅰ）若橢圓C的短軸長為2，離心率為

3

2

，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若弦AB過定點(diǎn)M(0，

3

2

)，試探究弦A′B′是否也必過某個(gè)定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓C的短軸長為2，離心率為

3

2

，求出幾何量，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）解法一：利用點(diǎn)A在圓O上，點(diǎn)A′在橢圓C上，確定A′，B′的縱坐標(biāo)，利用弦AB過定點(diǎn)M(0，

3

2

)，確定直線A′B′的方程，從而可得弦A′B′必過定點(diǎn)；
解法二：根據(jù)圓O上的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

倍可得到橢圓C，端點(diǎn)A與A′、B與B′的橫坐標(biāo)分別相等，縱坐標(biāo)分別同號，由弦AB過定點(diǎn)M(0，

3

2

)，猜想弦A′B′過定點(diǎn)M′(0，

3

4

)，進(jìn)一步可證得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由題意得，b=1，

c

a

=

3

2

，…（2分）
解得：a²=4，所以橢圓C的方程為：

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：圓O的方程為：x²+y²=4．…（5分）
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、A′（x₁，m）、B′（x₂，n），
∵點(diǎn)A在圓O上，∴

x

2 1

+

y

2 1

=4，…①
∵點(diǎn)A′在橢圓C上，∴

x 2 1

4

+m2=1，…②
聯(lián)立方程①②解得：m=

y1

2

，同理解得：n=

y2

2

．
∴A′(x1，

y1

2

)、B′(x2，

y2

2

)．…（8分）
∵弦AB過定點(diǎn)M(0，

3

2

)，
∴x₁≠x₂且k_AM=k_BM，即

y1- 3 2

x1

=

y2- 3 2

x2

，
化簡得

y1x2-y2x1

x2-x1

=

3

2

…（10分）
直線A′B′的方程為：y-

y1

2

=

y2 2 - y1 2

x2-x1

(x-x1)，即y=

1

2

y2-y1

x2-x1

x+

y1x2-y2x1

2(x2-x1)

，
由

y1x2-y2x1

x2-x1

=

3

2

得直線A′B′的方程為：y=

1

2

y2-y1

x2-x1

x+

3

4

，
∴弦A′B′必過定點(diǎn)M′(0，

3

4

)．…（12分）
解法二：由（Ⅰ）得：圓O的方程為：x²+y²=4．…（5分）
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵圓O上的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

倍可得到橢圓C，
又端點(diǎn)A與A′、B與B′的橫坐標(biāo)分別相等，縱坐標(biāo)分別同號，
∴A′(x1，

y1

2

)、B′(x2，

y2

2

)．…（8分）
由弦AB過定點(diǎn)M(0，

3

2

)，猜想弦A′B′過定點(diǎn)M′(0，

3

4

)．…（9分）
∵弦AB過定點(diǎn)M(0，

3

2

)，
∴x₁≠x₂且k_AM=k_BM，即

y1- 3 2

x1

=

y2- 3 2

x2

…①…（10分）
kA′M′=

y1 2 - 3 4

x1

=

1

2

y1- 3 2

x1

，kB′M′=

y2 2 - 3 4

x2

=

1

2

y2- 3 2

x2

，
由①得kA′M′=kB′M′，
∴弦A′B′必過定點(diǎn)M′(0，

3

4

)．…（12分）

點(diǎn)評：本小題主要考查直線、圓、橢圓等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．