Question

對于不等式組

2x-3y+2≥0 3x-y-4≤0 x+2y+1≥0

的解（x，y），當且僅當

x=2 y=2

時，z=x+ay取得最大值，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：由約束條件作出可行域，然后對a進行分類，當a≥0時顯然滿足題意，當a＜0時，化目標函數(shù)為直線方程斜截式，比較其斜率與直線BC的斜率的大小得到a的范圍．

解答： 解：由不等式組

2x-3y+2≥0 3x-y-4≤0 x+2y+1≥0

作可行域如圖，

聯(lián)立

2x-3y+2=0 3x-y-4=0

，解得

x=2 y=2

，∴C（2，2）．
當a=0時，目標函數(shù)化為z=x，由圖可知，可行解（2，2）使z=x+ay取得最大值，符合題意；
當a＞0時，由z=x+ay，得y=-

1

a

x+

z

a

，此直線斜率小于0，當在y軸上截距最大時z最大，
可行解（2，2）為使目標函數(shù)z=x+ay的最優(yōu)解，符合題意；
當a＜0時，由z=x+ay，得y=-

1

a

x+

z

a

，此直線斜率為正值，要使可行解（2，2）為使目標函數(shù)z=x+ay取得最大值的唯一的最優(yōu)解，則-

1

a

＞kBC=3，即a＞-

1

3

．
綜上，要使當且僅當

x=2 y=2

時，z=x+ay取得最大值，則實數(shù)a的取值范圍是（-

1

3

，+∞）．
故答案為：（-

1

3

，+∞）．

點評：本題考查線性規(guī)劃問題，考查了分類討論的數(shù)學思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，解答的關(guān)鍵是化目標函數(shù)為直線方程斜截式，由直線在y軸上的截距分析z的取值情況，是中檔題．