Question

過雙曲線

x2

2

-y2=1上一點(diǎn)P（2，1）作兩條相互垂直的直線PA，PB交雙曲線于另外兩點(diǎn)A，B，求證AB直線恒過定點(diǎn)．

Answer 1

分析：若直線PA的斜率存在，設(shè)方程為y-1=k（x-2），將其與雙曲線方程聯(lián)解得到點(diǎn)A關(guān)于k的坐標(biāo)形式，同理得到點(diǎn)B關(guān)于k的坐標(biāo)形式．由直線方程的兩點(diǎn)式列式得到直線AB含有參數(shù)k的形式，化簡后取特殊的k值找到可能經(jīng)過的定點(diǎn)為P（6，-3），再代入方程加以檢驗(yàn)可得所有的直線AB都經(jīng)過點(diǎn)P．在直線PA的斜率不存在時(shí)，易得AB的方程為y=-

1

2

x，直線也經(jīng)過上述的P點(diǎn)．由此即可得到直線AB恒經(jīng)過定點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（6，-3）．

解答：解：①當(dāng)直線PA的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PA的方程為y-1=k（x-2），
由

y-1=k(x-2) x2 2 -y2=1

消去y，得（1-2k²）x²-4k（1-2k）x-2（4k²-4k+2）=0
設(shè)A（m，n），可得

m+2= 4k(1-2k) 1-2k2 2m= -2(4k2-4k+2) 1-2k2

，解得m=

4k2-4k+2

2k2-1

，n=

-2k2+4k-1

2k2-1

，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

4k2-4k+2

2k2-1

，

-2k2+4k-1

2k2-1

），同理算出B的坐標(biāo)為（

2k2+4k+4

2-k2

，

-k2-4k-2

2-k2

），
因此，直線AB的方程為

y- -2k2+4k-1 2k2-1

-k2-4k-2 2-k2 - -2k2+4k-1 2k2-1

=

x- 4k2-4k+2 2k2-1

2k2+4k+4 2-k2 - 4k2-4k+2 2k2-1

，化簡得
（

2k2+4k+4

2-k2

-

4k2-4k+2

2k2-1

）（y+

2k2-4k+1

2k2-1

）=（

-k2-4k-2

2-k2

+

2k2-4k+1

2k2-1

）（x-

4k2-4k+2

2k2-1

）
即

8k4+4k3+4k-8

(2-k2)(2k2-1)

（y+

2k2-4k+1

2k2-1

）=

-4k4-4k3-4k+4

(2-k2)(2k2-1)

（x-

4k2-4k+2

2k2-1

）
即（2k⁴+k³+k-2）（y+

2k2-4k+1

2k2-1

）=（-k⁴-k³-k+1）（x-

4k2-4k+2

2k2-1

）
取k=1，化簡得直線AB方程為y=-x+3；取k=2，化簡得直線AB方程為y=-

5

8

x+

3

4

．
∵直線y=-x+3與直線y=-

5

8

x+

3

4

相交于點(diǎn)P（6，-3），∴猜想所有的直線AB經(jīng)過點(diǎn)P（6，-3），
∵將P（6，-3）代入直線方程，得左右兩邊相等，∴直線AB恒經(jīng)過定點(diǎn)P（6，-3）．
②當(dāng)直線PA的斜率不存在時(shí)，可得A（2，-1），B（-2，1），
此時(shí)直線AB的方程為y=-

1

2

x，得直線經(jīng)過上述的P點(diǎn)．
綜上所述，可得直線AB恒經(jīng)過定點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（6，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線上的定點(diǎn)P與互相垂直的弦PA、PB，求證直線AB經(jīng)過定點(diǎn)．著重考查了直線的基本量與基本形式、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)和直線與圓錐曲線的關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．