Question

4．已知某班n名同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)（單位：分，滿(mǎn)分100分）的頻率分布直方圖如圖所示，其中a，b，c成等差數(shù)列，且成績(jī)?cè)赱90，100]內(nèi)的有6人．
（1）求n的值；
（2）若成績(jī)?cè)赱40，50）內(nèi)的人數(shù)是成績(jī)?cè)赱50，60）內(nèi)的人數(shù)的$\frac{1}{3}$，規(guī)定60分以下為不及格，從不及格的人中任意選取3人，求成績(jī)?cè)?0分以下的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖和等差數(shù)列的性質(zhì)求出b=0.01，再由成績(jī)?cè)赱90，100]內(nèi)的有6人，能求出n．
（2）求出a=0.005，c=0.015，從而得到不及格的人數(shù)為18人，其中成績(jī)?cè)?0分以下的人數(shù)為3人，從不及格的人中任意選取3人，成績(jī)?cè)?0分以下的人數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖，得：
$\left\{\begin{array}{l}{2b=a+c}\\{（a+2b+c+0.025+0.035）×10=1}\end{array}\right.$，
解得b=0.01，
∵成績(jī)?cè)赱90，100]內(nèi)的有6人，∴$\frac{6}{n}=0.1$，解得n=60．
（2）∵成績(jī)?cè)赱40，50）內(nèi)的人數(shù)是成績(jī)?cè)赱50，60）內(nèi)的人數(shù)的$\frac{1}{3}$，
∴a=0.005，c=0.015，
∴規(guī)定60分以下為不及格，則不及格的人數(shù)為（0.005+0.01+0.015）×10×60=18，
其中成績(jī)?cè)?0分以下的人數(shù)為0.05×10×60=3人，
∴從不及格的人中任意選取3人，成績(jī)?cè)?0分以下的人數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{15}^{3}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{455}{816}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{15}^{2}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{315}{816}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{15}^{1}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{45}{816}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{1}{816}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{455}{816}$	$\frac{315}{816}$	$\frac{45}{816}$	$\frac{1}{816}$

EX=$0×\frac{455}{816}+1×\frac{315}{816}+2×\frac{45}{815}+3×\frac{1}{816}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．