Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線距離之比為．

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)是軌跡上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)直線與軌跡的另一交點(diǎn)分別為且直線的斜率之積等于，問四邊形的面積是否為定值？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）四邊形的面積為定值12.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)，依題意可得，化簡(jiǎn)即可得解；

（Ⅱ）設(shè)，，由，得，由點(diǎn)、在橢圓上，得，由此利用點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓的對(duì)稱性，結(jié)合已知條件能求出四邊形的面積為定值．

解：（Ⅰ）設(shè)，依題意，，

化簡(jiǎn)得，所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為．

（Ⅱ）設(shè)，，則由斜率之積，得，

，因?yàn)辄c(diǎn)、在橢圓上，

所以，．化簡(jiǎn)得．

直線的方程為，原點(diǎn)到直線的距離為．

所以，的面積，

根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，四邊形的面積，

所以，，

所以

所以，四邊形的面積為定值12．