【題目】如圖,已知圓的半徑為,,是圓上的一個動點,的中垂線交于點,以直線為軸,的中垂線為軸建立平面直角坐標系。
(Ⅰ)若點的軌跡為曲線,求曲線的方程;
(Ⅱ)設點為圓上任意一點,過作圓的切線與曲線交于兩點,證明:以為直徑的圓經(jīng)過定點,并求出該定點的坐標。
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析.
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)中垂線性質得出:,從而知點軌跡是橢圓,由橢圓標準方程可得.
(Ⅱ)當切線斜率不存在時,可得兩圓,它們的交點為原點,接著證明其它的圓都過原點即可,即證,也即證,為此可設直線方程為,由直線與圓相切得關系式,設,由直線方程與橢圓方程聯(lián)立化簡可得,計算可得結論.
(Ⅰ)因為是線段中垂線上的點,所以
所以:
所以:點的軌跡是以為焦點的橢圓
于是:,于是
所以:曲線的方程是
(Ⅱ)當直線斜率不存在時,
取,則,此時圓的方程是
取,則,此時圓的方程是
兩圓相交于原點,下面證明原點滿足題目條件,即證:
當直線斜率不存在時,設直線方程為
因為直線與圓相切,所以圓心到直線的距離,即①
由可得:
設,則
于是:
所以:
將①代入可得:
綜上所述:以為直徑的圓經(jīng)過定點
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x+ +lnx,a∈R. (Ⅰ)若f(x)在x=1處取得極值,求a的值;
(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間(1,2)上單調遞增,求a的取值范圍;
(Ⅲ)討論函數(shù)g(x)=f'(x)﹣x的零點個數(shù).
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【題目】如圖,平面ABEF⊥平面ABC,四邊形ABEF為矩形,AC=BC.O為AB的中點,OF⊥EC. (Ⅰ)求證:OE⊥FC:
(Ⅱ)若 = 時,求二面角F﹣CE﹣B的余弦值.
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【題目】已知函數(shù),函數(shù)的最小值為.
(1)求;
(2)是否存在實數(shù)同時滿足下列條件:
①;
②當的定義域為時, 值域為?若存在, 求出的值;若不存在, 說明理由.
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【題目】已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù),當.
(Ⅰ)求出函數(shù)在上的解析式;
(Ⅱ)在答題卷上畫出函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫出的單調區(qū)間;
(Ⅲ)若關于的方程有三個不同的解,求的取值范圍。
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【題目】某中學利用周末組織教職員工進行了一次秋季登山健身的活動,有N人參加,現(xiàn)將所有參加者按年齡情況分為[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55)等七組,其頻率分布直方圖如下所示.已知[35,40)這組的參加者是8人.
(1)求N和[30,35)這組的參加者人數(shù)N1;
(2)已知[30,35)和[35,40)這兩組各有2名數(shù)學教師,現(xiàn)從這兩個組中各選取2人擔任接待工作,設兩組的選擇互不影響,求兩組選出的人中都至少有1名數(shù)學老師的概率;
(3)組織者從[45,55)這組的參加者(其中共有4名女教師,其余全為男教師)中隨機選取3名擔任后勤保障工作,其中女教師的人數(shù)為x,求x的分布列和均值.
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【題目】已知點分別是橢圓的左右頂點, 為其右焦點, 與的等比中項是,橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設不過原點的直線與該軌跡交于兩點,若直線的斜率依次成等比數(shù)列,求的面積的取值范圍.
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【題目】已知點P是拋物線x2=4y上的動點,點P在x軸上的射影是Q,點A(8,7),則|PA|+|PQ|的最小值為( )
A.7
B.8
C.9
D.10
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【題目】已知△ABC三邊長構成公差為d(d≠0)的等差數(shù)列,則△ABC最大內角α的取值范圍為( )
A. <α≤
B. <α<π
C. ≤α<π
D. <α≤
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