Question

（本題16分）已知函數(shù)，(x>0)．

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2），求的值；

（3）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的定義域、值域都是[a，b]？若存在，請求出a，b的值，若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）f(x)在（0，1）上為減函數(shù)，在上是增函數(shù)（2）（3）不存在適合條件的實數(shù)a，b．

【解析】

試題分析：（1）求分段函數(shù)的單調(diào)性，可先求出各段單調(diào)性，然后一般用逗號連接；（3）與函數(shù)有關(guān)的探索問題：第一步：假設(shè)符合條件的結(jié)論存在；第二步：從假設(shè)出發(fā)，利用題中關(guān)系求解；第三步，確定符合要求的結(jié)論存在或不存在；第四步：給出明確結(jié)果；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點.

試題解析：（1） ∵x>0，∴

∴f(x)在（0，1）上為減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

（2）由0<a<b，且f(a)=f(b)，可得 0<a1<b和．

即．

（3）不存在滿足條件的實數(shù)a，b．

若存在滿足條件的實數(shù)a，b，使得函數(shù)y=的定義域、值域都是[a，b]，則a>0

而

①當時，在（0，1）上為減函數(shù)．

故 即 解得 a=b．

故此時不存在適合條件的實數(shù)a，b．

② 當時，在上是增函數(shù)．

故 即

此時a，b是方程的根，此方程無實根．故此時不存在適合條件的實數(shù)a，b．

③ 當，時，由于，而，故此時不存在適合條件的實數(shù)a，b．

綜上可知，不存在適合條件的實數(shù)a，b．

考點：函數(shù)的單調(diào)性，判斷存在性問題.