Question

已知函數(shù)f(x)=-x²+2x+3.

(1)畫出f(x)的圖像；

(2)根據(jù)圖像寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)利用定義證明函數(shù)f(x)=-x²+2x+3在區(qū)間(-∞,1］上是增函數(shù)；

(4)當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,m］上是增函數(shù)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

思路分析：本題主要考查二次函數(shù)的圖像、函數(shù)的單調(diào)性及其綜合應(yīng)用.(1)畫二次函數(shù)的圖像時(shí)，重點(diǎn)確定開(kāi)口方向和對(duì)稱軸的位置；(2)根據(jù)單調(diào)性的幾何意義，寫出單調(diào)區(qū)間；(3)證明函數(shù)的增減性，先在區(qū)間上取x₁＜x₂，然后作差f(x₁)-f(x₂)，判斷這個(gè)差的符號(hào)即可；(4)討論對(duì)稱軸和區(qū)間［m,+∞)的相對(duì)位置.

解：(1)函數(shù)f(x)=-x²+2x+3的圖像如下圖所示.

(2)由函數(shù)f(x)的圖像，得在直線x=1的左側(cè)圖像是上升的，在直線x=1的右側(cè)圖像是下降的，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,1］，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+∞).

(3)設(shè)x₁、x₂∈(-∞,1］，且x₁＜x₂，則有

f(x₁)-f(x₂)=(-x₁²+2x₁+3)-(-x₂²+2x₂+3)

=(x₂²-x₁²)+2(x₁-x₂)

=(x₁-x₂)(2-x₁-x₂).

∵x₁、x₂∈(-∞,1］，且x₁＜x₂，

∴x₁-x₂＜0,x₁+x₂＜2.

∴2-x₁-x₂＞0.

∴f(x₁)-f(x₂)＜0.

∴f(x₁)＜f(x₂).

∴函數(shù)f(x)=-x²+2x+3在區(qū)間(-∞,1］上是增函數(shù).

(4)函數(shù)f(x)=-x²+2x+3的對(duì)稱軸是直線x=1，在對(duì)稱軸的左側(cè)是增函數(shù)，那么當(dāng)區(qū)間(-∞,m］位于對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)滿足題意，則有m≤1，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,1］.

綠色通道：討論二次函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要結(jié)合二次函數(shù)的圖像，通過(guò)確定對(duì)稱軸和單調(diào)區(qū)間的相對(duì)位置來(lái)解決.