Question

7．{a_n}為等差數(shù)列，公差d＞0，S_n是數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和，已知a₁a₄=27，S₄=24．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）令b_n=a_n•2ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁a₄=27，S₄=24．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．
（2）b_n=a_n•2ⁿ=（2n+1）•2ⁿ．利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁a₄=27，S₄=24．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（{a}_{1}+3d）=27}\\{4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d=24}\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）b_n=a_n•2ⁿ=（2n+1）•2ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=3×2+5×2²+…+（2n+1）•2ⁿ，
2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=6+2×（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=2+2×$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=-2+（1-2n）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．