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14.已知極坐標(biāo)的極點在平面直角坐標(biāo)系的原點O處,極軸與x軸的正半軸重合,且長度單位相同.直線l的極坐標(biāo)方程為:ρsin(θ-π3)=3,若點P為曲線C:{x=2+2cosαy=2sinα,(α為參數(shù))上的動點,其中參數(shù)α∈[0,2π].
(1)試寫出直線l的直角坐標(biāo)方程及曲線C的普通方程;
(2)求點P到直線l距離的最大值.

分析 (1)由ρsin(θ-π3)=3,展開ρsinθ-3ρcosθ=23,利用互化公式即可得出直線l的直角坐標(biāo)方程.曲線C:{x=2+2cosαy=2sinα,且參數(shù)α∈[0,2π],利用三角函數(shù)基本關(guān)系式的平方關(guān)系消去參數(shù)α可知曲線C的普通方程.
(2)由(1)點P的軌跡方程為(x-2)2+y2=4,圓心為C(2,0),半徑為2.利用點到直線的距離公式可得圓心C到直線l的距離d,可得點P到直線l距離的最大值為d+r.

解答 解:(1)∵ρsin(θ-π3)=3,∴ρsinθ-3ρcosθ=23,
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為:y-3x=23
曲線C:{x=2+2cosαy=2sinα,且參數(shù)α∈[0,2π],
消去參數(shù)α可知曲線C的普通方程為:(x-2)2+y2=4.
(2)由(1)點P的軌跡方程為(x-2)2+y2=4,圓心為C(2,0),半徑為2.
圓心C到直線l的距離d=|230+23|32+1=23,
∴點P到直線l距離的最大值為23+2.

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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