Question

已知二次函數(shù)在處取得極值，且在點(diǎn)處的切線與直線平行．

(1）求的解析式；

(2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及極值。

（3）求函數(shù)在的最值。

 

Answer 1

（1）（2）函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，），（1，+∞）．在x2=1有極小值為0．在有極大值．（3）函數(shù)g（x）的最大值為2，最小值為0．

【解析】

試題分析：（1）由f（x）=ax2+bx﹣3，知f′（x）=2ax+b．由二次函數(shù)f（x）=ax2+bx﹣3在x=1處取得極值，且在（0，﹣3）點(diǎn)處的切線與直線2x+y=0平行，知，由此能求出f（x）．

（2）由f（x）=x2﹣2x﹣3，知g（x）=xf（x）+4x=x3﹣2x2+x，所以g′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1）．令g′（x）=0，得，x2=1．列表討論能求出函數(shù)g（x）=xf（x）+4x的單調(diào)遞增區(qū)間及極值．

（3）由g（0）=0，g（2）=2，結(jié)合（2）的結(jié)論，能求出函數(shù)g（x）的最大值和最小值．

試題解析：(1)由,可得. 由題設(shè)可得     即

解得,.所以.

(2)由題意得,所以.令,得,.

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所以函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，），（1，+∞）．在x2=1有極小值為0．

在有極大值．

（3）∵g（0）=0，g（2）=2，

∴由（2）知：函數(shù)g（x）的最大值為2，最小值為0．

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．