Question

在銳角△ABC中，b=2，B=

π

3

，sin2A+sin（A-C）-sinB=0，則△ABC的面積為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到三個角之和為π，表示出B，代入已知的等式中，利用誘導(dǎo)公式化簡，再利用二倍角的正弦函數(shù)公式及和差化積公式變形，提取2cosA，等式左邊變?yōu)榉e的形式，根據(jù)兩數(shù)之積為0，至少有一個為0，可得cosA=0或sinA=sinC，由cosA=0，根據(jù)A為三角形的內(nèi)角，可得A為直角，但三角形為銳角三角形，矛盾，故舍去；由sinA=sinC，根據(jù)A和C都為銳角，可得A=C，又B為

π

3

，可得三角形為等邊三角形，且邊長為2，進而求出等邊三角形的面積即可．

解答：解：∵A+B+C=π，∴B=π-（A+C），
∴sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C），
代入sin2A+sin（A-C）-sinB=0得：sin2A-[sin（A+C）-sin（A-C）]=0，
變形得：2sinAcosA-2cosAsinC=0，即2cosA（sinA-sinC）=0，
所以cosA=0或sinA=sinC，
解得A=

π

2

（又銳角△ABC，此情況不滿足，舍去）或A=C，
所以A=C，又B=

π

3

，b=2，
所以△ABC為邊長為2的等邊三角形，
則△ABC的面積S=

3

4

×2²=

3

．
故答案為：

3

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有誘導(dǎo)公式，和差化積公式，二倍角的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．