Question

（2013•�？诙�模）2013年，首都北京經(jīng)歷了59年來霧霾天氣最多的一個(gè)月．經(jīng)氣象局統(tǒng)計(jì)，北京市從1
月1日至1月30日這30天里有26天出現(xiàn)霧霾天氣．《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）技術(shù)規(guī)定（試行）》依據(jù)AQI指數(shù)高低將空氣污染級別分為：優(yōu)，指數(shù)為0-50；良，指數(shù)為51-100；輕微污染，指數(shù)為101-150；輕度污染，指數(shù)為151-200；中度污染，指數(shù)為201-250；中度重污染，指數(shù)為251-300；重度污染，指數(shù)大于300．下面表1是該觀測點(diǎn)記錄的4天里，AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見度y（千米）的情況，表2是某氣象觀測點(diǎn)記錄的北京1月1日到1月30日AQI指數(shù)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，
表1：AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見度y（千米）情況

AQI指數(shù)M	900	700	300	100
空氣可見度y（千米）	0.5	3.5	6.5	9.5

表2：北京1月1日到1月30日AQI指數(shù)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)

AQI指數(shù)	[0，200]	（200，400]	（400，600]	（600，800]	（800，1000]
頻數(shù)	3	6	12	6	3

（Ⅰ）設(shè)變量

?

x

=

M

100

，根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，求出

?

y

關(guān)于

?

x

的線性回歸方程；
（Ⅱ）小王在記錄表2數(shù)據(jù)的觀測點(diǎn)附近開了一家小飯館，飯館生意的好壞受空氣質(zhì)量
影響很大．假設(shè)每天空氣質(zhì)量的情況不受前一天影響．經(jīng)小王統(tǒng)計(jì)：AQI指數(shù)不高于200時(shí)，飯館平均每天凈利潤約700元，AQI指數(shù)在200至400時(shí)，飯館平均每天凈利潤約400元，AQI指數(shù)大于400時(shí)，飯館每天要凈虧損200元．
（�。�將頻率看作概率，求小王在連續(xù)三天里飯館凈利潤約1200元的概率；
（ⅱ）計(jì)算該飯館一月份每天收入的數(shù)學(xué)期望．（用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式b=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 xi2-n . x 2

，a=

.

y

-b

.

x

）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

?

x

=

M

100

，可得x₁=9，x₂=7，x₃=3，x₄=1，利用公式計(jì)算線性回歸方程系數(shù)，即可得到

?

y

關(guān)于

?

x

的線性回歸方程；
（Ⅱ）（ⅰ）由表2知AQI指數(shù)不高于200的頻率為0.1，AQI指數(shù)在200至400的頻率為0.2，AQI指數(shù)大于400的頻率為0.7，若將頻率看作概率，則可求“連續(xù)三天里飯館凈利潤約1200元”的概率；
（ⅱ）由（�。�，確定飯館每天的收入的取值及概率，從而可求分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（Ⅰ）由

?

x

=

M

100

，可得x₁=9，x₂=7，x₃=3，x₄=1，
∴

.

x

=5，

.

y

=5，

4

i=1

xiyi=9×0.5+7×3.5+3×6.5+1×9.5=58，

4

i=1

x

2 i

=140
∴b=

58-4×5×5

140-4×52

=-

21

20

，a=5-5×(-

21

20

)=

41

4

∴y關(guān)于x的線性回歸方程是y=-

21

20

x+

41

4

（8分）
（Ⅱ）（�。┯杀�2知AQI指數(shù)不高于200的頻率為0.1，AQI指數(shù)在200至400的頻率為0.2，AQI指數(shù)大于400的頻率為0.7．
設(shè)“飯館某天收入約700元”為事件A，“飯館某天收入約400元”為事件B，“飯館某天虧損約200元”為事件C，若將頻率看作概率，則P（A）=0.1，P（B）=0.2，P（C）=0.7．則“連續(xù)三天里飯館凈利潤約1200元”的概率：P=P(BBB)+P(ACC)+P(CAC)+P(CCA)=0.23+

C

2 3

×0.12×0.7=0.029（（8分）
（ⅱ）由（�。�，設(shè)飯館每天的收入為X，則X的分布列為

X	-200	400	700
P	0.7	0.2	0.1

（10分）
則X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=-200×0.7+400×0.2+700×0.1=10（12分）

點(diǎn)評：本題考查線性回歸方程，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．