已知點、，動點滿足：，且
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）已知圓W： 的切線與軌跡相交于P，Q兩點，求證：以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點.
（1）；（2）證明詳見解析.

試題分析：（1）針對點的位置：點在線段上、點在軸上且在線段外、點不在軸上進行分類確定點的軌跡，前兩種只須簡單的檢驗即可，當點不在軸上時，在中，應用余弦定理得，化簡得到，再根據(jù)圓錐曲線的定義，可知動點在以為兩焦點的橢圓上，由橢圓的相關參數(shù)即可寫出橢圓的方程，最后綜合各種情況寫出所求軌跡的方程；（2）先驗證直線斜率不存在與斜率為0的情形，然后再證明直線斜率存在且不為0的情況，此時先設直線，設點，聯(lián)立直線與軌跡的方程，消去得到，進而求出及，得到，利用直線與圓相切得到，代入式子中，即可得到，從而問題得證.
試題解析：（1）①當點在線段上時
不存在或，均不滿足題目條件                      1分
②當點在軸上且在線段外時，
，設
由可得∴∴      3分
③當點不在軸上時，
在中，由余弦定理得


，即動點在以為兩焦點的橢圓上
方程為：（）
綜和①②③可知：動點的軌跡的方程為：              6分
（2）①當直線的斜率不存在時
∵直線與圓相切，故切線方程為或
切線方程與聯(lián)立方程組
可求得為或為
則以為直徑的圓的方程為，經(jīng)過坐標原點
②當直線的斜率為零時
與①類似，
可求得以為直徑的圓的方程為，經(jīng)過坐標原點          10分
③當直線的斜率存在且不為零時設直線的方程為
由消去得
設，則
∴
∴①
∵直線和圓相切
∴圓心到直線的距離，整理得②
將②式代入①式，得，顯然以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點
綜上可知，以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點                  14分.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

以橢圓的一個頂點為直角頂點作此橢圓的內接等腰直角三角形，試問：（1）這樣的等腰直角三角形是否存在？若存在，寫出一個等腰直角三角形兩腰所在的直線方程。若不存在，說明理由。（2）這樣的等腰直角三角形若存在，最多有幾個？

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，過的直線交橢圓于兩點， 的周長為8，且面積最大時，為正三角形．

（1）求橢圓的方程；
（2）設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點，證明：點在以為直徑的圓上.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓的離心率為，軸被曲線截得的線段長等于的短軸長。與軸的交點為，過坐標原點的直線與相交于點，直線分別與相交于點。

（1）求、的方程；
（2）求證：。
（3）記的面積分別為，若，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，左右焦點分別為，且.
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點的直線與橢圓相交于兩點，且，求的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓與橢圓中心在原點，焦點均在軸上，且離心率相同．橢圓的長軸長為，且橢圓的左準線被橢圓截得的線段長為，已知點是橢圓上的一個動點．

⑴求橢圓與橢圓的方程；
⑵設點為橢圓的左頂點，點為橢圓的下頂點，若直線剛好平分，求點的坐標；
⑶若點在橢圓上，點滿足，則直線與直線的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于點，.
（Ⅰ）若（點在第一象限），求直線的方程；
（Ⅱ）求證：為定值（點為坐標原點）.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a>b>0)的兩個焦點F1，F2和上下兩個頂點B1，B2是一個邊長為2且∠F1B1F2為60°的菱形的四個頂點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過右焦點F2的斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于E、F兩點，A為橢圓的右頂點，直線AE，AF分別交直線x＝3于點M，N，線段MN的中點為P，記直線PF2的斜率為k′，求證： k·k′為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

，則方程表示的曲線不可能是（   ）
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線

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