定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:如果對任意x1、x2∈R都有f()≤f(x1)+f(x2)],則稱f(x)為R上的凹函數(shù),已知二次函數(shù)f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0).??

(1)求證:當a>0時,函數(shù)f(x)是凹函數(shù);?

(2)若x∈[0,1]時,|f(x)|≤1,試求實數(shù)a的取值范圍.??

(1)證明:對任意x1、x2∈R,∵a>0,?

∴[f(x1)+f(x2)]-2f()?

=ax12+x1+ax22+x2-2[a()2+]??

=ax12+ax22-a(x12+x22+2x1x2)?

=a(x1-x2)2≥0.?

f()≤f(x1)+f(x2)].?

f(x)為凹函數(shù).?

(2)解析:由|f(x)|≤1-1≤f(x)≤1-1≤ax2+x≤1.(*)?

x=0時,a∈R;?

x∈(0,1]時,(*)即?

恒成立.?

x∈(0,1],

≥1.?

∴當=1時,-(+)2+取得最大值是-2;?

=1時,(- )2-取得最小值0.?

∴-2≤a≤0,結(jié)合a≠0,得-2≤a<0.??

綜上,a的范圍是[-2,0).

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相關(guān)習題

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定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù),若f(x)的最小正周期是π,且當x∈[0,
π
2
]時,f(x)=sinx,則f(
3
)的值為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

20、已知定義在R上的函數(shù)f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R),函數(shù)F(x)=f(x)-3x2是奇函數(shù),函數(shù)f(x)在x=-1處取極值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)討論f(x)在區(qū)間[-3,3]上的單調(diào)性.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x+2)=
1-f(x)1+f(x)
,當x∈(0,4)時,f(x)=x2-1,則f(2010)=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤
π
2
),最大值與最小值的差為4,相鄰兩個最低點之間距離為π,函數(shù)y=sin(2x+
π
3
)圖象所有對稱中心都在f(x)圖象的對稱軸上.
(1)求f(x)的表達式;    
(2)若f(
x0
2
)=
3
2
(x0∈[-
π
2
π
2
]),求cos(x0-
π
3
)的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,且有如下對應值表:
x 0 1 2 3
f(x) 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函數(shù)f(x)一定存在零點的區(qū)間是(  )

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