Question

4．正項數列{a_n}的前n項和為S_n，且4S_n=（a_n+1）²，b_n=（-1）ⁿS_n
（1）求{a_n}通項公式
（2）求和T₁₀=b₁+b₂+b₃+…b₁₀．

Answer 1

分析 （1）由4S_n=（a_n+1）²，可得：n=1時，4a₁=$（{a}_{1}+1）^{2}$，a₁＞0，解得a₁=1．n≥2時，4a_n=4（S_n-S_n-1），化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
由于a_n+a_n-1＞0，可得a_n-a_n-1=2，利用等差數列的通項公式即可得出a_n，代入4S_n=（a_n+1）²，可得：S_n=n²．
（2）b_n=（-1）ⁿ•S_n=（-1）ⁿ•n²．利用“分組求和”、等差數列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵4S_n=（a_n+1）²，∴n=1時，4a₁=$（{a}_{1}+1）^{2}$，a₁＞0，解得a₁=1．
n≥2時，4a_n=4（S_n-S_n-1）=$（{a}_{n}+1）^{2}$-$（{a}_{n-1}+1）^{2}$，化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=2，
∴數列{a_n}是等差數列，首項為1，公差為2，∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）a_n=2n-1代入4S_n=（a_n+1）²，可得：S_n=n²．
b_n=（-1）ⁿ•S_n=（-1）ⁿ•n²．
∴T₁₀=b₁+b₂+b₃+…b₁₀=（2²-1²）+（4²-3²）+…+（10²-9²）
=1+2+…+10=$\frac{10×（1+10）}{2}$=55．

點評 本題考查了“分組求和”方法、等差數列的通項公式及其前n項和公式、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．