Question

（2011•江蘇二模）選答題：本大題共四小題，請(qǐng)從這4題中選作2小題，如果多做，則按所做的前兩題記分．每小題10分，共20分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
A、選修4-1：
幾何證明選講．如圖，圓O的直徑AB=4，C為圓周上一點(diǎn)，BC=2，過(guò)C作圓O的切線l，過(guò)A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓O交于點(diǎn)D，E，求∠DAC的度數(shù)與線段AE的長(zhǎng)．
B、選修4-2：矩陣變換
求圓C：x²+y²=4在矩陣A=[

2 0 0 1

]的變換作用下的曲線方程．
C、選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
若兩條曲線的極坐標(biāo)方程分別為ρ=1與ρ=2sinθ，它們相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．
D、選修4-5：不等式選講
已知a、b、c為正數(shù)，且滿足acos²θ+bsin²θ＜c．求證：

a

cos²θ+

b

sin²θ＜

c

．

Answer 1

分析：A：先利用弦切角定理求得∠DCA=60°，從而解直角三角形得∠DAC的度數(shù)，最后證明△AOE為等邊三角形從而求得線段AE的長(zhǎng)；B：設(shè)P（x，y）是圓C：x²+y²=4上的任意一點(diǎn)，P′（x′，y′）是P（x，y）在矩陣A=[

2 0 0 1

]的對(duì)應(yīng)變換作用下新曲線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則由矩陣的運(yùn)算性質(zhì)得點(diǎn)P和點(diǎn)P′坐標(biāo)間的關(guān)系，代入P點(diǎn)軌跡即可得所求曲線方程；C：先將已知曲線方程聯(lián)立，得交點(diǎn)的極坐標(biāo)，在利用極坐標(biāo)的定義，在三角形中通過(guò)解三角形求得AB的長(zhǎng)；D：由柯西不等式定理直接證明即可

解答：解；A：如圖，在Rt△ABC中，AB=2BC，∴∠ABC=60°，
由于l為過(guò)C的切線，∠DCA=∠CBA，∴∠DCA=60°，
又∵AD⊥DC，得∠DAC=30°．
那么在△AOE中，∠EAO=∠DAC+∠CAB=60°，OE=OA，
∴AE=AO=

1

2

AB=2
B：設(shè)P（x，y）是圓C：x²+y²=4上的任意一點(diǎn)，
設(shè)P′（x′，y′）是P（x，y）在矩陣A=[

2 0 0 1

]的對(duì)應(yīng)變換作用下新曲線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，
則[

x′   y′

]=[

2 0 0 1

][

x   y

]=[

2x   y

]，
即

x′=2x y′=y

，代入x²+y²=4得

x′2

4

+y′2=4
∴曲線方程為

x2

16

+

y2

4

=1
C：解：由ρ=1與ρ=2sinθ，得2sinθ=1
θ=

π

6

或θ=

5π

6

∴A、B的極坐標(biāo)為A（1，

π

6

），（1，

5π

6

）
在△AOB中，OA=OB=1，∠AOB=

2π

3

∴AB=

3

D：證明：由柯西不等式可得

a

cos²θ+

b

sin²θ≤[（

a

cosθ）²+（

b

sinθ）²]^0.5（cos²θ+sin²θ）^0.5
=

acos 2θ+bsin 2θ

＜

c

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了平面幾何證明，直線與圓的性質(zhì)定理，矩陣變換和矩陣運(yùn)算，極坐標(biāo)系及其與直角坐標(biāo)系的互化，利用柯西不等式證明不等式的方法