Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=$\sqrt{7}$，PA=$\sqrt{3}$，∠ABC=120°，G為線段PC上的點．
（Ⅰ）證明：BD⊥面PAC；
（Ⅱ）若G是PC的中點，求證：PA∥面BDG；
（Ⅲ）若G滿足PC⊥面BGD，求$\frac{PG}{GC}$ 的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明△ABD≌△CBD，BD=60°且∠BAC=30°，得到BD⊥AC，利用直線與平面垂直的判定定理證明BD⊥面PAC．
（Ⅱ）證明OG∥PA，然后證明PA∥面BDG．
（Ⅲ）求出PC，說明PC⊥GD，在△PDC中，利用勾股定理求解邊長，然后推出比值即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：由已知得三角形ABC是等腰三角形，且底角等于30°，
且AB=CB，AD=CD，BD=DB，⇒△ABD≌△CBD，⇒∠ABD=∠∠BD=60°且∠BAC=30°．，
所以BD⊥AC，又因為$\left.\begin{array}{l}PA⊥ABCD⇒BD⊥PA\\ BD⊥AC\end{array}\right\}⇒BD⊥PAC$； …（4分）
（Ⅱ）證明：設AC∩BD=O，由（1）知 O為AC中點，則OG∥PA，
又PA?面BDG，OG?面BDG，
∴PA∥面BDG               …（8分）
（Ⅲ）解：由已知得到：$PC=\sqrt{P{A^2}+A{C^2}}=\sqrt{3+12}=\sqrt{15}$，
因為PC⊥BGD∴PC⊥GD，
在△PDC中，$PD=\sqrt{3+7}=\sqrt{10}，CD=\sqrt{7}，PC=\sqrt{15}$，
設$PG=x∴CG=\sqrt{15}-x∴10-{x^2}=7-{（\sqrt{15}-x）^2}∴PG=x=\frac{3}{5}\sqrt{15}，GC=\frac{2}{5}\sqrt{15}∴\frac{PG}{GC}=\frac{3}{2}$…（12分）

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應用．三角形的全等以及勾股定理，空間想象能力以及計算能力，轉化思想的應用．