Question

13．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A與AF₂垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且F₁恰是QF₂的中點(diǎn)．若過A、Q、F₂三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x-$\sqrt{3}$y-3=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l₁：y=x+2與橢圓C交于G、H兩點(diǎn)．在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0），使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形是菱形．如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓C的半焦距為c（c＞0），由已知得過A、Q、F₂三點(diǎn)的圓的圓心為F₁（-c，0），半徑2c=a，$\frac{|-c-3|}{2}$=2c，由此能求出橢圓的方程．
（2）將直線l₁：y=x+2代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，得7x²+16x+4=0，由此利用韋達(dá)定理能求出GH的中點(diǎn)M，再由菱形的對(duì)角線互相垂直平分能求出存在滿足題意的點(diǎn)P，且能求出m的值．

解答 解：（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c（c＞0），
∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點(diǎn)為A，
過點(diǎn)A與AF₂垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且F₁恰是QF₂的中點(diǎn)，
過A、Q、F₂三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x-$\sqrt{3}$y-3=0相切，
∴過A、Q、F₂三點(diǎn)的圓的圓心為F₁（-c，0），半徑2c=a，
又∵該項(xiàng)圓與直線l相切，∴$\frac{|-c-3|}{2}$=2c，
解得c=1，∴a²=4，b²=3，
∴所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）將直線l₁：y=x+2代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，得7x²+16x+4=0，
設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{16}{7}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4}{7}$，
∴${y}_{1}+{y}_{2}={x}_{1}+2+{x}_{2}+2=\frac{12}{7}$，
∴GH的中點(diǎn)M（-$\frac{8}{7}，\frac{6}{7}$），
∵菱形的對(duì)角線互相垂直平分，∴k_PA•k_PB=-1，
∴$\frac{\frac{6}{7}-0}{-\frac{8}{7}-m}×1=-1$，解得m=-$\frac{2}{7}$，
∴存在滿足題意的點(diǎn)P，且m的值為-$\frac{2}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．