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7.(1)函數(shù)f(x)=lnx-ax1x(x>0,a∈R).當a>0時,求證:函數(shù)f(x)的圖象存在唯一零點的充要條件是a=1;
(2)求證:不等式1lnx-1x123對于x∈(1,2)恒成立.

分析 (1)充分性:a=1時,f′(x)=x1x2(x>0).利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值最值可得:x=1時,函數(shù)f(x)取得極小值也是最小值.即可證明.
必要性:f(x)=0在(0,+∞)上有唯一解,且a>0,由導數(shù)的性質可得:在x=a處有極小值也是最小值f(a),f(a)=lna-a+1再利用導數(shù)研究其單調性極值與最值即可證明.
(2)1<x<2,可得1lnx1x123?2x+1lnx3x10,令F(x)=(2x+1)lnx-3(x-1),又F(1)=0,利用導數(shù)只要證明F′(x)>0即可.

解答 證明:(1)充分性:f′(x)=1x-a1x2=xax2(x>0),
a=1時,f′(x)=x1x2(x>0).
在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,
∴x=1時,函數(shù)f(x)取得極小值也是最小值.
即fmin(x)=f(1)=0.
∴a=1時,函數(shù)f(x)的圖象在(0,+∞)上有唯一的一個零點x=1.
必要性:f(x)=0在(0,+∞)上有唯一解,且a>0,
當a>0時,單調遞增區(qū)間為(a,+∞),單調遞減區(qū)間為(0,a).
在x=a處有極小值也是最小值f(a),f(a)=lna-a+1.
令g(a)=lna-a+1,g′(a)=1a-1=1aa
當0<a<1時,g′(a)>0,在(0,1)上單調遞增;當a>1時,g′(a)<0,在(1,+∞)上單調遞減.
∴gmax(a)=g(1)=0,g(a)=0只有唯一解a=1.
f(x)=0在(0,+∞)上有唯一解時必有a=1.
綜上:在a>0時,f(x)=0在(0,+∞)上有唯一解的充要條件是a=1.
(2)證明:∵1<x<2,
1lnx1x123?2x+1lnx3x10,
令F(x)=(2x+1)lnx-3(x-1),
∴F′(x)=2lnx+1x-1,
px=2lnx+1x1,則p′(x)=2x1x2
∵1<x<2,∴p′(x)>0,
∴∴F′(x)在(1,2)上單調遞增,
∴F′(x)>F′(1)=0,∴F(x)在(1,2)上單調遞增.
∴F(x)>F(1)=0,(2x+1)lnx-3(x-1)>0,即不等式1lnx1x123對于x∈(1,2)恒成立.

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、兩次求導的方法、等價轉化方法、不等式的解法、充要條件,考查了分析問題與解決問題的能力、推理能力與計算能力,屬于難題.

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