Question

16．已知向量$\vec a，\vec b，\vec c$，滿足$|{\vec a}|=\sqrt{2}$，$|{\bar b}$$|=\vec a•\vec b=3$，若$（\vec c-2\vec a）•（2\vec b-3\vec c）$=0，則$|{\vec b-\vec c}$|的最大值是$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角，求出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的終點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)$\overrightarrow{c}$的終點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），利用向量垂直得出C的軌跡方程，轉(zhuǎn)化為平面幾何中的距離問題．

解答 解：∵$|{\vec a}|=\sqrt{2}$，$|{\bar b}$$|=\vec a•\vec b=3$，設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cosθ，
即3$\sqrt{2}$cosθ=3，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴θ=$\frac{π}{4}$，
設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則$|{\vec b-\vec c}$|=$|\overrightarrow{BC}|$，
設(shè)A（$\sqrt{2}$，0），B（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），設(shè)C（x，y），
∴$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{a}$=（x-2$\sqrt{2}$y），2$\overrightarrow$-3$\overrightarrow{c}$=（3$\sqrt{2}$-3x，3$\sqrt{2}$-3y），
∵$（\vec c-2\vec a）•（2\vec b-3\vec c）$=0，
∴（x-2$\sqrt{2}$）（3$\sqrt{2}$-3x）+y（3$\sqrt{2}$-3y）=0，
整理得x²+y²-3$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$y+4=0，
即（x-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1，
∴點(diǎn)點(diǎn)C的軌跡為以M（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）為圓心，以r=1為半徑的圓．
∴點(diǎn)B到圓心M的距離d=$\sqrt{2}$，
∴BC的最大距離為d+r=．即|$\overrightarrow{BC}$|的最大值為$\sqrt{2}$+1．
故答案為：$\sqrt{2}$+1

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量運(yùn)算的幾何意義，使用坐標(biāo)法計(jì)算是常用解題方法．