Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₄=16，a₄=7．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

a2007a2008

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)當(dāng)n+m=k+l時(shí)則a_n+a_m=a_k+a_l得a₁=1，d=2所以a_n=2n-1
（2）先得到數(shù)列

1

a1a2

1

a2a3

…

1

a2007a2008

的通項(xiàng)公式

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)裂項(xiàng)后相加求和得

2007

4015

．

解答：解：（1）由題意得
因?yàn)閧a_n}是等差數(shù)列
所以當(dāng)n+m=k+l時(shí)則a_n+a_m=a_k+a_l
所以S₄=a₁+a₂+a₃+a₄
=2（a₁+a₄）=16
由∵a₄=7
∴a₁=1
∴d=2
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=2n-1．
（2）由（1）得a_n=2n-1
∴

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
所以

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

a2007a2008

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

4011

-

1

4013

+

1

4013

-

1

4015

)
=

1

2

(1-

1

4015

)
=

2007

4015

∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

a2007a2008

的值是

2007

4015

．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)等差數(shù)列的性質(zhì)要熟悉，這也是高考常考的內(nèi)容，此題是考查等差數(shù)列的性質(zhì)等差中項(xiàng)．?dāng)?shù)列求和是高考重點(diǎn)本題考查用裂項(xiàng)相消求和．