已知拋物線y2＝2px(p＞0)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(a，0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，①若|AB|≤2p，求a的取值范圍；②若線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)N，求直角三角形MNQ的面積．

答案：
解析：

　　解：①依題可得直線l的方程為y＝x－a，代入拋物線方程，整理得

　　x2－2(a＋p)x＋a2＝0，由韋達(dá)定理得x1＋x2＝2(a＋p)，x1x2＝a2．

　　依據(jù)弦長(zhǎng)公式|AB|＝·|x1－x2|，可求得|AB|＝，∴0＜≤2p．

　　解得－＜a≤－，即為所求的取值范圍．

　�、谠O(shè)Q(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：

　　

　　由兩點(diǎn)間距離公式得|MQ|2＝2p2，又∵直線的斜率為1，

　　∴△MNQ為等腰直角三角形，

　　∴S△MNQ＝|MQ|2＝p2．


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已知拋物線y2＝2px（p＞0）.過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p.

（Ⅰ）求a的取值范圍；

（Ⅱ）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值.

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如圖所示，已知拋物線y2＝2px(p＞0)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(a，0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，且|AB|≤2p．

(1)求a的取值范圍；

(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值．

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(Ⅰ)求拋物線上任意一點(diǎn)Q到定點(diǎn)N(2p，0)的最近距離；

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F作一直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，并在準(zhǔn)線l上任取一點(diǎn)M，當(dāng)M不在x軸上時(shí)，證明：是一個(gè)定值，并求出這個(gè)值．

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