Question

如圖展示了一個由區(qū)間（0，1）到實數(shù)集R的映射過程：區(qū)間（0，1）中的實數(shù)m對應數(shù)軸上的點M，如圖1；將線段AB圍成一個圓，使兩端點A，B恰好重合（點M從點A按逆時針方向運動至點B），如圖2；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為（0，1），如圖3．圖3中直線AM與x軸交于點N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n．下列說法中正確命題的序號是

 

．（填出所有正確命題的序號）

①f（

1

4

）=1；     
②f（x）在定義域上單調遞增；     
③方程f（x）=0的解是x=

1

2

；
④f（x）是奇函數(shù)；                             
⑤f（x）的圖象關于點（

1

2

，0）對稱．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：閱讀型,函數(shù)的性質及應用,推理和證明

分析：由題中對映射運算描述，對五個命題逐一判斷其真?zhèn)危?br />①m=

1

4

此時M恰好處在左半圓弧的中點上，求出直線AM的方程后易得N的橫坐標，即可判斷；
②可由圖3，由M的運動規(guī)律觀察出函數(shù)值的變化，得出單調性，即可判斷；
③可由②的單調性，結合圖3即可判斷；
④可由奇偶函數(shù)的定義域關于原點對稱來確定正誤；
④可由圖3中圓關于y軸的對稱判斷出正誤．

解答： 解：對于①，因為當m=

1

4

，此時M恰好處在左半圓弧的中點上，此時直線AM的方程為y=x+1，即f（

1

4

）=-1，故①錯；
對于②，當x從0→1變化時，點N從左邊向右邊移動，其對應的坐標值漸漸增大，故f（x）在定義域上單調遞增，故②正確．
對于③，由②f（x）在定義域上單調遞增，則M運動到AB的中點，即有直線AM為x=0，即有f（

1

2

）=0，
故③正確；
對于④，由于函數(shù)f（x）的定義域為（0，1），不關于原點對稱，則函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)，故④錯．
對于⑤，由圖3可以看出，當M點的位置離中間位置相等時，N點關于y軸對稱，即此時函數(shù)值互為相反數(shù)，故可知f（x）的圖象關于點（

1

2

，0）對稱，故⑤正確．
故答案為：②③⑤．

點評：本題考查映射的概念，解答本題關鍵是理解題設中所給的對應關系，正確認識三個圖象的意義，由此對五個命題的正誤作出判斷，本題題型新穎，寓數(shù)于形，是一個考查理解能力的題，對題設中所給的關系進行探究，方可得出正確答案，本題易因為理解不了題意而導致無法下手，題目較抽象．