Question

某廠家準(zhǔn)備在2014年12月份舉行促銷活動(dòng)，依以往的數(shù)據(jù)分析，經(jīng)測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量x萬件（假設(shè)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品全部銷售），與年促銷費(fèi)用y萬元（0≤m≤4）近似滿足x=3-

k

m+1

（k為常數(shù)），如果不促銷，該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件，已知2014年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元．廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格規(guī)定的每件產(chǎn)品生產(chǎn)平均成本的1.5倍，（產(chǎn)品生產(chǎn)平均成本指固定投入和再投入兩部分資金的平均成本）．
（1）將2014年該產(chǎn)品的年利潤(rùn)y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；
（2）該廠家2014年的年促銷費(fèi)用投入為多少萬元時(shí)，該廠家的年利潤(rùn)最大？并求出最大年利潤(rùn)．
（3）在年銷量不少于2萬件的前提下，廠家的年利潤(rùn)是否隨著年促銷費(fèi)用的增加而增加？說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1））由m=0，x=1可得x=3-

2

m+1

，從而寫出y=x•（1.5

8+16x

x

）-（8+16x+m），化簡(jiǎn)得y=29-[

16

m+1

+（m+1）]，（0≤m≤4）；
（2）由基本不等式求函數(shù)的最大值，從而得到最大利潤(rùn)；
（3）求導(dǎo)以判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題及可．

解答： 解：（1）由m=0，x=1得，k=2，∴x=3-

2

m+1

，
每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為：1.5

8+16x

x

，
∴2014年的利潤(rùn)y=x•（1.5

8+16x

x

）-（8+16x+m）
=4+8x-m=-[

16

m+1

+（m+1）]+29，（0≤m≤4），
即y=29-[

16

m+1

+（m+1）]，（0≤m≤4）．
（2）由y=29-[

16

m+1

+（m+1）]≤29-2

16

=21．
（當(dāng)且僅當(dāng)

16

m+1

=m+1，即m=3時(shí)，等號(hào)成立）
故該廠家2014年的年促銷費(fèi)用投入為3萬元時(shí)，該廠家的年利潤(rùn)最大，
最大年利潤(rùn)為21萬元．
（3）由x=3-

2

m+1

≥2，0≤m≤4可得，1≤m≤4，
由y′=-1+

16

(m+1)2

≥0解得1≤m≤3，
由y′=-1+

16

(m+1)2

≤00解得3≤m≤4；
故當(dāng)1≤m≤3時(shí)，廠家的年利潤(rùn)隨著年促銷費(fèi)用的增加而增加；
當(dāng)3≤m≤4時(shí)，廠家的年利潤(rùn)隨著年促銷費(fèi)用的增加而減少；
故在年銷量不少于2萬件的前提下，
廠家的年利潤(rùn)不是隨著年促銷費(fèi)用的增加而增加．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)用到了基本不等式與導(dǎo)數(shù)，屬于中檔題．