Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率e=

2

2

，點(diǎn)D（0，1）在且橢圓E上，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F₂且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G（t，0），求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍．
（Ⅲ）試用表示△GAB的面積，并求△GAB面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由點(diǎn)D（0，1）在且橢圓E上，知b=1，由e=

2

2

，得到a2=2，a=

2

，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）法一：設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠0），代入

x2

2

+y²=1，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．有直線AB過橢圓的右焦點(diǎn)F₂，知方程有兩個(gè)不等實(shí)根．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)N（x₀，y₀），由此利用韋達(dá)定理能夠求出點(diǎn)G橫坐標(biāo)t的取值范圍．
法二：設(shè)直線AB的方程為x=my+1，由

x=my+1 x2 2 +y2=1

得（m²+2）y²+2my-1=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)N（x₀，y₀），則y1+y2=

-2m

m2+2

，y1y2=-

1

m2+2

．得y0=

y1+y2

2

=

-m

m2+2

x0=my0+1=

2

m2+2

． 所以AB垂直平分線NG的方程為y-y₀=-m（x-x₀）．令y=0，得t=x0+

y0

m

=

2

m2+2

-

1

m2+2

=

1

m2+2

，由此能求了t的取值范圍．                           
（Ⅲ）法一：S△GAB=

1

2

•|F2G|•|y1-y2|=

1

2

|F2G||k|•|x1-x2|．而|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

8(k2+1)

2k2+1

，由0＜t＜

1

2

，t=

k2

k2+2

，可得k2=

t

1-2t

，所以|x1-x2|=2

2

(1-2t)

1-t 1-2t

．再由|F₂G|=1-t，得S△GAB=

1

2

(1-t)

t 1-2t

•2

2

(1-2t)

1-t 1-2t

=

2

(1-t)3t

（0＜t＜

1

2

）．設(shè)f（t）=t（1-t）³，則f′（t）=（1-t）²（1-4t）．由此能求出△GAB的面積的最大值．
法二：S△GAB=

1

2

•|F2G|•|y1-y2|而|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

8(m2+1)

m2+2

，由t=

1

m2+2

，可得m2+2=

1

t

．所以|y1-y2|=

8( 1 t -1) 1 t2

=

8t(1-t)

．又|F₂G|=1-t，所以S△MPQ=

2t(1-t)3

．△MPQ的面積為

2

t(1-t)3

（0＜t＜

1

2

）．設(shè)f（t）=t（1-t）³，則f'（t）=（1-t）²（1-4t）．由此能求出△GAB的面積有最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵點(diǎn)D（0，1）在且橢圓E上，
∴b=1，
∵e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

a2-1

a2

=(

2

2

)2=

1

2

，
∴a²=2a²-2，
∴a2=2，a=

2

，
∴橢圓E的方程為

x2

2

+y2=1（4分）
（Ⅱ）解法一：設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠0），
代入

x2

2

+y²=1，整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∵直線AB過橢圓的右焦點(diǎn)F₂，
∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根．
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)N（x₀，y₀），
則x₁+x₁=

4k2

2k2+1

，x0=

1

2

(x1+x2)=

2k2

2k2+1

，y0=k(x0-1)=-

k

2k2+1

，（6分）
∴AB垂直平分線NG的方程為y-y0=-

1

k

(x-x0)．
令y=0，得t=x0+ky0=

2k2

2k2+1

-

k2

2k2+1

=

k2

2k2+1

=

1

2

-

1

4k2+2

．（8分）
∵k≠0，∴0＜t＜

1

2

．
∴t的取值范圍為(0，

1

2

)．（10分）
解法二：設(shè)直線AB的方程為x=my+1，
由

x=my+1 x2 2 +y2=1

可得（m²+2）y²+2my-1=0．
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)N（x₀，y₀），
則y1+y2=

-2m

m2+2

，y1y2=-

1

m2+2

．
可得y0=

y1+y2

2

=

-m

m2+2

x0=my0+1=

2

m2+2

．                     （6分）
∴AB垂直平分線NG的方程為y-y₀=-m（x-x₀）．
令y=0，得t=x0+

y0

m

=

2

m2+2

-

1

m2+2

=

1

m2+2

．（8分）
∵m≠0，∴0＜m＜

1

2

．
∴t的取值范圍為(0，

1

2

)．                           （10分）

（Ⅲ）解法一：S△GAB=

1

2

•|F2G|•|y1-y2|=

1

2

|F2G||k|•|x1-x2|．
而|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

8(k2+1)

2k2+1

，
∵0＜t＜

1

2

，由t=

k2

k2+2

，可得k2=

t

1-2t

，k2+1=

1-t

1-2t

，2k2+1=

1

1-2t

．
所以|x1-x2|=2

2

(1-2t)

1-t 1-2t

．
又|F₂G|=1-t，
所以S△GAB=

1

2

(1-t)

t 1-2t

•2

2

(1-2t)

1-t 1-2t

=

2

(1-t)3t

（0＜t＜

1

2

）．（12分）
設(shè)f（t）=t（1-t）³，則f′（t）=（1-t）²（1-4t）．
可知f（t）在區(qū)間(0，

1

4

)單調(diào)遞增，在區(qū)間(

1

4

，

1

2

)單調(diào)遞減．
所以，當(dāng)t=

1

4

時(shí)，f（t）有最大值f(

1

4

)=

27

64

．
所以，當(dāng)t=

1

4

時(shí)，△GAB的面積有最大值

3 6

8

．（14分）
解法二：S△GAB=

1

2

•|F2G|•|y1-y2|
而|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

8(m2+1)

m2+2

，
由t=

1

m2+2

，可得m2+2=

1

t

．
所以|y1-y2|=

8( 1 t -1) 1 t2

=

8t(1-t)

．
又|F₂G|=1-t，
所以S△MPQ=

2t(1-t)3

．
所以△MPQ的面積為

2

t(1-t)3

（0＜t＜

1

2

）．（12分）
設(shè)f（t）=t（1-t）³，
則f'（t）=（1-t）²（1-4t）．
可知f（t）在區(qū)間(0，

1

4

)單調(diào)遞增，在區(qū)間(

1

4

，

1

2

)單調(diào)遞減．
所以，當(dāng)t=

1

4

時(shí)，f（t）有最大值f(

1

4

)=

27

64

．
所以，當(dāng)t=

1

4

時(shí)，△GAB的面積有最大值

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