Question

已知定義在R上的連續(xù)函數(shù)y=f（x）對任意x滿足f（3-x）=f（x），（x-

3

2

）f′（x）＞0，則下列命題正確的有

①②④

．
①函數(shù)y=f（x+

3

2

）為偶函數(shù)；
②若x₁＜x₂且x₁+x₂＞3，則f（x₁）＜f（x₂）；
③f（

2

）＞f（sin14°+cos14°）；
④若f（

3

2

）•f（5）＜0，則y=f（x）有兩個零點．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的對稱性，求出函數(shù)y=f（x）的對稱軸，進而根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換，求出函數(shù)y=f（x+

3

2

）的對稱軸，可判斷①；根據(jù)已知結合導數(shù)符號與原函數(shù)單調(diào)性的關系，分析出函數(shù)的單調(diào)性，進而可判斷②，③，再結合零點存在定理可判斷④

解答：解：①∵函數(shù)y=f（x）對任意x滿足f（3-x）=f（x），
故函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=

3

2

對稱
函數(shù)y=f（x+

3

2

）的圖象由函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

3

2

個單位得到，故關于y軸對稱，函數(shù)y=f（x+

3

2

）為偶函數(shù)，即①正確；
②∵（x-

3

2

）f′（x）＞0，故x＞

3

2

時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
x＜

3

2

時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
若x₁＜x₂且x₁+x₂＞3，則f（x₁）＜f（x₂），故②正確；
③sin14°+cos14°=

2

sin（14°+45°）=

2

sin59°，∵

2

＞

2

sin59°，且

2

+

2

sin59°＜3，故f（

2

）＜f（sin14°+cos14°），即③錯誤；
④若f（

3

2

）•f（5）＜0，則函數(shù)若f（

3

2

）＜0，f（-2）=f（5）＞0，由函數(shù)的單調(diào)性及零點存在定理，可得y=f（x）有兩個零點，故④正確
故正確的命題有：①②④
故答案為：①②④

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的對稱性，奇偶性，單調(diào)性，零點等知識點，綜合性強，難度較大．