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16.已知函數(shù)f(x)=2sin2π4+x)-3cos2x-1,x∈R.
(Ⅰ)若函數(shù)h(x)=f(x+t)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-π6,0)對(duì)稱,且t∈(0,π),求t的值;
(Ⅱ)設(shè)A=[π4,π2],B={x||f(x)-m|<3},若A⊆B,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 (Ⅰ)化函數(shù)f(x)為正弦型函數(shù),根據(jù)函數(shù)h(x)=f(x+t)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-π6,0)對(duì)稱,即2sin(-π3+2t-π3)=0,結(jié)合t∈(0,π),求出t的值;
(Ⅱ)由|f(x)-m|<3得出m的表達(dá)式,根據(jù)A⊆B,得出π4≤x≤π2時(shí),[f(x)-3]max<m<[f(x)+3]min,
再根據(jù)x∈[π4,π2]時(shí),f(x)max與f(x)min,即可求出m的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=2sin2π4+x)-3cos2x-1
=2•1cos2π4+x2-3cos2x-1
=sin2x-3cos2x
=2sin(2x-π3),x∈R;
∴函數(shù)h(x)=f(x+t)=2sin(2x+2t-π3),
其圖象關(guān)于點(diǎn)(-π6,0)對(duì)稱,
∴2sin(-π3+2t-π3)=0,
∴2t-2π3=kπ,k∈Z,
∴t=kπ2+π3,k∈Z,
又t∈(0,π),
∴t=π3或t=5π6;
(Ⅱ)由|f(x)-m|<3得:
-3<f(x)-m<3,
即f(x)-3<m<f(x)+3,
∵A⊆B,
∴當(dāng)π4≤x≤π2時(shí),f(x)-3<x<f(x)+3恒成立;
∴[f(x)-3]max<m<[f(x)+3]min,
又x∈[π4,π2]時(shí),2x-π3∈[π6,2π3],
∴f(x)max=f(π2)=2,f(x)min=f(π6)=1;
∴-1<m<4,
即m∈(-1,4).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換問題,也考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及子集的應(yīng)用問題,是綜合性題目.

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