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16.已知函數(shù)f(x)=2sin2\frac{π}{4}+x)-\sqrt{3}cos2x-1,x∈R.
(Ⅰ)若函數(shù)h(x)=f(x+t)的圖象關(guān)于點(-\frac{π}{6},0)對稱,且t∈(0,π),求t的值;
(Ⅱ)設(shè)A=[\frac{π}{4},\frac{π}{2}],B={x||f(x)-m|<3},若A⊆B,求實數(shù)m的取值范圍.

分析 (Ⅰ)化函數(shù)f(x)為正弦型函數(shù),根據(jù)函數(shù)h(x)=f(x+t)的圖象關(guān)于點(-\frac{π}{6},0)對稱,即2sin(-\frac{π}{3}+2t-\frac{π}{3})=0,結(jié)合t∈(0,π),求出t的值;
(Ⅱ)由|f(x)-m|<3得出m的表達式,根據(jù)A⊆B,得出\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}時,[f(x)-3]max<m<[f(x)+3]min
再根據(jù)x∈[\frac{π}{4},\frac{π}{2}]時,f(x)max與f(x)min,即可求出m的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=2sin2\frac{π}{4}+x)-\sqrt{3}cos2x-1
=2•\frac{1-cos2(\frac{π}{4}+x)}{2}-\sqrt{3}cos2x-1
=sin2x-\sqrt{3}cos2x
=2sin(2x-\frac{π}{3}),x∈R;
∴函數(shù)h(x)=f(x+t)=2sin(2x+2t-\frac{π}{3}),
其圖象關(guān)于點(-\frac{π}{6},0)對稱,
∴2sin(-\frac{π}{3}+2t-\frac{π}{3})=0,
∴2t-\frac{2π}{3}=kπ,k∈Z,
∴t=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3},k∈Z,
又t∈(0,π),
∴t=\frac{π}{3}或t=\frac{5π}{6};
(Ⅱ)由|f(x)-m|<3得:
-3<f(x)-m<3,
即f(x)-3<m<f(x)+3,
∵A⊆B,
∴當(dāng)\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}時,f(x)-3<x<f(x)+3恒成立;
∴[f(x)-3]max<m<[f(x)+3]min,
又x∈[\frac{π}{4},\frac{π}{2}]時,2x-\frac{π}{3}∈[\frac{π}{6}\frac{2π}{3}],
∴f(x)max=f(\frac{π}{2})=2,f(x)min=f(\frac{π}{6})=1;
∴-1<m<4,
即m∈(-1,4).

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換問題,也考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及子集的應(yīng)用問題,是綜合性題目.

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