【題目】已知函數(shù)（）.

（1）證明：當(dāng)時，在上是增函數(shù)；

（2）是否存在實數(shù)，只有唯一正數(shù)，對任意正數(shù)，使不等式恒成立？若存在，求出這樣的；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）詳見解析；（2）存在實數(shù)，只有唯一值，符合題意.

【解析】

（1）將在上是增函數(shù)轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最值即可證明.

（2）將恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性及最值，找到符合題意的正數(shù)的值.

證明：（1）

令

則，因此是增函數(shù)

故，因此是增函數(shù)

（2）取，可知，

令

由得

①當(dāng)時，可得在遞減，是遞增

令

因為存在唯一的正數(shù)，使得

故只能

得

在上遞減，在上遞增

得，此時只有唯一值

②當(dāng)時，為增函數(shù)，得，故

當(dāng)時，滿足的不唯一

當(dāng)時，滿足的只能，

但時滿足且

因此時，值不唯一

故存在實數(shù)，只有唯一值，

當(dāng)時恒有

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)拋物線C：的焦點為F，經(jīng)過點F的直線與拋物線交于A、B兩點．

(1)若，求線段中點M的軌跡方程；

(2)若直線AB的方向向量為，當(dāng)焦點為時，求的面積；

(3)若M是拋物線C準(zhǔn)線上的點，求證：直線的斜率成等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)是定義在上的函數(shù)，若存在，使得在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則稱為上的單峰函數(shù)，為峰點，包含峰點的區(qū)間稱為含峰區(qū)間，其含峰區(qū)間的長度為：．

（1）判斷下列函數(shù)中，哪些是“上的單峰函數(shù)”？若是，指出峰點；若不是，說出原因；；

（2）若函數(shù)是上的單峰函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)是區(qū)間上的單峰函數(shù)，證明：對于任意的，若，則為含峰區(qū)間；若，則為含峰區(qū)間；試問當(dāng)滿足何種條件時，所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.6．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】關(guān)于函數(shù)，給出以下四個命題，其中真命題的序號是_______.

①時，單調(diào)遞減且沒有最值；

②方程一定有解；

③如果方程有解，則解的個數(shù)一定是偶數(shù)；

④是偶函數(shù)且有最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中，,點是中點，且,現(xiàn)將三角形沿折起，使點到達(dá)點的位置，且與平面所成的角為.

(1)求證:平面平面;

(2)求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

有時可用函數(shù)

描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識的掌握程度，其中x表示某學(xué)科知識的學(xué)習(xí)次數(shù)（），表示對該學(xué)科知識的掌握程度，正實數(shù)a與學(xué)科知識有關(guān).

（1） 證明：當(dāng)時，掌握程度的增加量總是下降；

（2） 根據(jù)經(jīng)驗，學(xué)科甲、乙、丙對應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為,,

.當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識6次時，掌握程度是85%，請確定相應(yīng)的學(xué)科.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司在迎新年晚會上舉行抽獎活動，有甲、乙兩個抽獎方案供員工選擇；

方案甲：員工最多有兩次抽獎機會，每次抽獎的中獎率為.第一次抽獎，若未中獎，則抽獎結(jié)束.若中獎，則通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進(jìn)行第二次抽獎，規(guī)定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎金，不進(jìn)行第二次抽獎；若正面朝上，員工則須進(jìn)行第二次抽獎，且在第二次抽獎中，若中獎，獲得獎金1000元；若未中獎，則所獲獎金為0元.

方案乙：員工連續(xù)三次抽獎，每次中獎率均為，每次中獎均可獲獎金400元.

（1）求某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎所獲獎金（元）的分布列；

（2）某員工選擇方案乙與選擇方案甲進(jìn)行抽獎，試比較哪個方案更劃算？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，平面．

（1）求異面直線與所成角的大��；

（2）求二面角的余弦值．

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