Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，AB⊥AC．
（1）求證：AC⊥BB₁；
（2）若P是棱B₁C₁的中點(diǎn)，求平面PAB將三棱柱分成的兩部分體積之比．

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直的性質(zhì)證明AC⊥平面ABB₁A₁，可得AC⊥BB₁；
（2）設(shè)平面PAB∩A₁C₁=Q，根據(jù)P是棱B₁C₁的中點(diǎn)，可得Q是棱A₁C₁的中點(diǎn)，利用棱臺(tái)的體積公式計(jì)算VPQC1-ABC，即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，A₁B?平面ABB₁A₁，
∴平面ABB₁A₁⊥平面ABC，
∵平面ABB₁A₁∩平面ABC=AB，AB⊥AC，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，
∴AC⊥BB₁；
（2）解：設(shè)平面PAB∩A₁C₁=Q，
∵P是棱B₁C₁的中點(diǎn)，
∴Q是棱A₁C₁的中點(diǎn)，
連接AQ，PQ，則設(shè)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面積為S，高為h，體積為V，則V=Sh，
∴VPQC1-ABC=

1

3

（

1

4

S+

S• 1 4 S

+S）•h=

7

12

Sh=

7

12

V，
∴VAB-A1B1PQ=V-

7

12

V=

5

12

V，
∴VPQC1-ABC：VAB-A1B1PQ=7：5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)，考查體積計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，掌握面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)是關(guān)鍵．